图1为二维滑动单元的示意图,该单元由一个磁浮节点m和列车行进过程中所有可能与之接触的梁单元节点序列构成.在磁浮列车模型中,电磁铁与轨道梁之间的接触关系为电磁力相互作用.

对于二维问题,轨道梁单元仅考虑竖向和转动自由度,磁浮节点仅考虑竖向自由度.因此,该滑动单元自由度和内力可以表示为:

u=[u_m u₂ … u_n-1 u_n]^T,(1)

R=[F_m R₂ … R_n-1 R_n]^T.(2)

式中:u_m是磁浮节点的竖向位移; F_m为磁浮节点竖向内力; u₂～u_n为所有可能与磁浮节点产生相互作用的轨道梁单元的节点位移; R₂～R_n为所有可能与磁浮节点产生相互作用的梁单元的节点内力.

如图1所示,在某一时刻t,磁浮节点前进至单元K处时,二维滑动单元a、p、q节点内力和对应刚度取值均为0,i、j节点内力和对应刚度取值不为0.为方便计算推导,将未接触的局部节点a、p、q定义为未激活节点.因此,激活的局部滑动单元自由度和节点内力表示为:

u ^∧=[u₁ u₂ u₃ u₄ u₅]^T,(3)

R^∧=[R₁ R₂ R₃ R₄ R₅]^T.(4)

图1 滑动单元模型
Fig.1 Model of sliding element

如图2所示:u₂～u₅ 和R₂～R₅分别表示局部滑动单元激活节点对应的位移和内力; x为磁浮节点m与激活的轨道梁左节点i之间的水平距离,可通过速度积分求得; L为与磁浮节点连接的梁单元长度.

图2 激活的滑动单元的局部节点
Fig.2 Local node of active slide element

通过插值得到轨道梁在x处的位移为:

u_S=[0 N]u ^∧,(5)

其中,N为插值形函数,可表示为

要计算激活的局部滑动单元的节点内力R^∧,需要先求得磁铁与轨道梁之间的相互作用力,即磁浮力F_m.两者之间的关系为:

悬浮架与轨道梁之间的相互作用力由电磁铁提供.事实上电磁力是空间中的三维分布力,目前尚没有简单的解析表达式.根据电磁学理论^[5],二维情况下,电磁铁的瞬间吸引力为:

F(i,δ)=(μ₀N²A)/4[(i(t))/(δ(t))]²,(8)

式中,μ₀为空气磁导率,N为电磁线圈匝数,A为磁极面积,δ(t)为磁浮间隙,i(t)为通过电磁铁的电流.在磁浮间隙小幅度变化时,根据文献[6],磁浮力可以等效处理为线性弹簧阻尼力:

F_m=F₀+k_eqδ+c_eqδ ^·,(9)

式中,F₀为电磁铁额定悬浮力,k_eq为等效磁隙刚度,c_eq为等效磁隙阻尼,δ^·为磁浮间隙.

将式(9)稍作变形可得:

F_m=F_m0+k_eq(δ-δ₀)+c_eqδ ^·.(10)

式中:δ和δ₀分别为当前磁浮间隙和初始磁浮间隙; F_m0为磁浮列车静悬浮,即δ=δ₀时的磁浮力.

根据磁浮力计算式(10)可知,若求解磁浮力,首先要得到磁浮间隙.磁浮节点与轨道梁的连接关系见图2.根据几何关系可以得到:

δ₀-u_m=δ-u_r.(11)

式中:u_m为磁浮节点位移; u_r为磁浮力弹簧连接处轨道梁的位移,包括由形函数插值得到的位移u_S和由磁浮力作用产生的额外位移u_Fm.

u_r=u_S+u_Fm,(12)

u_Fm=-F_flexF_m=-((L-x)³x³)/(3EIL³)F_m,(13)

式中,F_flex为梁在x处的柔度,EI为梁单元的抗弯刚度.

根据式(10),可以得到磁浮力计算公式:

F_m=F_m0+k_eq(u_S+u_Fm-u_m)+c_eq(v_r-v_m),(14)

式中,u_S+u_Fm和v_r分别为磁浮力弹簧连接处轨道梁的位移和速度,u_m和v_m分别为磁浮节点m的位移和速度.

根据链式法则,激活的滑动单元的刚度矩阵可写成:

根据式(7)可以得到激活的滑动单元的节点内力与磁浮力的关系:

根据式(14)可以得到激活的滑动单元的磁浮力与节点位移的关系:

根据式(13)可以得到磁浮力作用下轨道梁的位移u_Fm与磁浮力F_m的关系:

根据式(3)可以得到磁浮节点位移u_m与滑动单元位移向量u ^∧ 的关系:

将式(16)～(20)代入式(15),可以得到激活的滑动单元的刚度矩阵为:

将二系悬挂系统简化到二维平面时,需要根据其空间布置进行等效处理.TR08型磁浮列车的二系悬挂系统的剖面图^[8]如图6所示.二系悬挂系统可等效看作空气弹簧与摆杆的串联弹簧.而摆杆的刚度大约是空气弹簧刚度的50～100倍,因此在对二系悬挂系统的等效中,摆杆的刚度可以近似忽略.

图6 二系悬挂系统结构剖面图(单位:mm)
Fig.6 Sectional view of secondary suspension system of TR08 vehicle(unit:mm)

车体与每个悬浮架之间通过4个空气弹簧装置进行连接.如图7所示,空气弹簧位于x₁的位置,车厢通过摆杆与空气弹簧在右边x₂的位置连接.等效为二维问题时,以摇枕为对象,忽略其自身重力的作用,对支承转轴处取矩,根据力矩平衡方程有:

(x₁+x₂)F₂-F₁x₁=Jα,(22)

其中J和α分别为摇枕的转动惯量和角加速度.

图7 空气弹簧等效示意图
Fig.7 Equivalent diagram of air spring

摇枕转动惯量约为40 kgm²,同时在满足行车舒适度的要求下,摇枕的角加速度很小,故式(22)可近似写成:

(x₁+x₂)F₂=F₁x₁.(23)

将摇枕视为刚体,摇枕转动角度很小时,根据位移协调关系有:

(u₂)/(x₁+x₂)=(u₁)/(x₁).(24)

根据式(23)与(24)可得空气弹簧等效刚度:

根据式(25)结果可知,等效到二维平面后空气弹簧的刚度不到设计值的1/3,说明该等效措施在建立TR08型磁浮列车二系悬挂系统的二维平面模型时是必要的.

本文中磁浮力计算使用式(10)中的线性弹簧阻尼模型.磁浮列车参数全部取自文献[2-3,9],详细参数见表1.

表1 磁浮列车参数
Tab.1 Parameters of maglev vehicle

车厢、悬浮架、电磁铁均使用刚性欧拉梁单元模拟.一系悬挂和二系悬挂均使用truss杆单元来模拟弹簧和阻尼.简化到二维平面后,每个一系悬挂在竖向由2个并联的弹簧阻尼单元构成.车体与每个悬浮架间通过4个空气弹簧装置连接.

基于表 1和式(25)中对二系悬挂结构的简化,在OpenSees平台建立了单节磁浮列车的有限元模型,计算得到磁浮列车在竖向二维平面内的第一阶和第二阶自振频率分别为0.797 4和0.846 8 Hz,分别对应于车身在竖向平面内的沉浮和点头运动,对比文献[9]中的数据0.787 8和0.823 5 Hz,说明二系悬挂的简化以及整车模型的建模是正确、可靠的.