文献[5,16]中的LESO将极点统一配置到实轴上的一个具体位置,虽然也可以调节系统的暂态性能,但是减弱了调节暂态性能的灵活性,一定程度上制约了跟踪精度和响应速度,必然使暂态过程品质的提升受到限制.ILESO在此基础上额外给两个参数β₂和β₃各乘上一个调节因子,便可以灵活改变极点的位置,从而改进观测器的暂态性能.

对比传统LESO的表达式(3),给出三阶ILESO的方程如下:

根据式(5),ILESO的增益矩阵更新为

对式(14)进行拉氏变换可得

其中L_ILESO(s)是ILESO的特征方程,具体为

L_ILESO(s)=s³+β₁s²+θβ₂s+λβ₃.(17)

对系统式(1)进行拉氏变换:

s²Y(s)=F(s)+b₀U(s).(18)

将式(18)代入式(16)中的x _∧3(s)中可得

则系统总扰动F(s)到它的观测量x _∧3(s)的传递函数为

Ψ(s)=(x _∧3(s))/(F(s))=(λβ₃)/(L_ILESO(s))=

(λβ₃)/(s³+β₁s²+θβ₂s+λβ₃).(20)

在实际情况中,一般使调节因子θ满足如下条件:

θ>(27)/(25).(21)

根据一元三次方程的盛金判别法^[18]可以证明,当满足式(21)时,Ψ(s)的特征方程L^*(s)=0有1个实根和2个共轭复根.在满足稳定性的条件下,它们均位于s平面左半部分.假设实根为-ra,共轭复根为-a+bi、-a-bi,其中a、b、r均为正数,i为虚数单位.因此传递函数式(20)可以重写为如下形式:

Ψ(s)=(λβ₃)·{[s-(-ra)][s-(-a+bi)]

[s-(-a-bi)]}^-1.(22)

根据一元三次方程根与系数的关系以及LESO增益矩阵式(6)可得

(2+r)a=β₁=3ω_o,(23)

(2r+1)a²+b²=θβ₂=θ3ω²_o,(24)

ra(a²+b²)=λβ₃=λω³_o.(25)

根据式(23)～(25)可以进一步推出如下关系:

3a²-2β₁a+θβ₂=b²,(26)

8a³-8a²β₁+2a(β²₁+θβ₂)+λβ₃-θβ₁β₂=0,(27)

rθβ₁β₂(2+r)²-2r²β₁³-λβ₃(2+r)³=0,(28)

(β₁-2a)(a²+b²)-λβ₃=0.(29)

为了简化分析和加快系统响应速度,利用“主导极点”的思想,令实数极点远离虚轴,使参数r满足如下条件:

r>3.(30)

将式(28)变换为如下形式:

r(θβ₁β₂-λβ₃)-2λβ₃=(2r²β₁³)/((2+r)²).(31)

在式(30)的约束下,由式(31)可以推导出此时调节因子θ和λ必须满足如下关系:

λ>(27θ)/5-(486)/(125).(32)

根据高阶系统的时域分析法^[19],舍掉非主导极点部分,式(22)中传递函数Ψ(s)可以近似为二阶系统,重新配置增益,将其变换为如下形式:

系统阻尼比

ξ=a/((a²+b²)^1/2).(34)

显然,此时ψ(s)为二阶欠阻尼系统.

根据古典控制理论中的劳斯判据,列出式(17)L_ILESO(s)的劳斯列表(表1).

表1 ILESO特征方程的劳斯列表
Tab.1 The Routh-Hurwitz table of ILESO's characteristic equation

为了保证系统稳定性,调节因子需满足下列条件:

0<λ<(β₁β₂)/(β₃)θ.(35)

综合增益矩阵式(6)和2.2中的式(21)、(30)和(32),可得ILESO调节因子θ和λ的取值范围如下:

值得注意的是,引入“主导极点”的思想是为了便于简化分析.在工程中可以放宽式(30)和(32)的约束要求,根据控制精度要求和抑制高频扰动的带宽要求,按照实时仿真的结果,灵活改变调节因子的取值,以达到最佳控制效果.

在工程实际操作中,可以先设置θ=1,λ=1,大致调节(粗调)ω_o,使观测器性能达到一个相对合理的程度,然后根据式(36)的调节因子取值范围适当微调(精细调节)θ和λ的取值,从而达到进一步改进观测器性能的目的.

调节时间是指响应到达并保持在终值±5%或±2% 误差内所需的最短时间^[19],根据欠阻尼二阶系统的时域性能指标的结论,选取误差带Δ=0.02,根据式(33),调节时间可表示为

t_s=4.4/a.(43)

在式(27)中,参数a是调节因子θ和λ的隐函数,分别对θ和λ求导可得

a'(θ)=1/2·(β₂(β₁-2a))/(12a²-8β₁a+β²₁+θβ₂)=

(β₂)/2·((β₁-2a))/(12(a-(β₁)/3)²+θβ₂-(β²₁)/3),(44)

a'(λ)=-(λ₃)/2·1/(12a²-8β₁a+β²₁+θβ₂)=

-(λ₃)/2·1/(12(a-(β₁)/3)²+θβ₂-(β²₁)/3).(45)

综合式(6)、(21)和(23)可知,a'(θ)>0,a'(λ)<0恒成立,因此参数a与θ正相关,与λ负相关.

综上所述,增大调节因子θ或者减小λ,都会使调节时间减少,从而加快系统响应速度.

根据欠阻尼二阶系统的时域性能指标的结论^[19],超调量可以表示为:

σ%=e^-(aπ)/b×100%.(46)

下面对超调量作进一步的讨论.

(i)调节因子λ不变,调节θ.

联立式(23)和(30),可得参数a的取值范围如下:

0<a<(β₁)/5.(47)

将式(44)化成如下形式:

a'(θ)=(β₂)/2·1/(3(β₁-2a)+(θβ₂)/(β₁-2a)-2β₁)=

(β₂)/2·1/(3m+(θβ₂)/m-2β₁),(48)

其中m=β₁-2a,且3m+θβ₂/m-2β₁>0.根据式(47)可知

(3β₁)/5<m<β₁.(49)

图1 ILESO扰动跟踪阶跃响应曲线
Fig.1 Step response curve of ILESO's noise track

在式(26)中,参数b是调节因子θ的隐函数,对θ求导可得

b'(θ)=(β₂-2a'(θ)·(β₁-3a))/(2b),(50)

将式(48)代入式(50)中可得

b'(θ)=(3β₂)/(4b)·1/(m(3m+(θβ₂)/m-2β₁))·

((2θβ₂)/3-m(β₁-m).(51)

综合式(6)和(49)可知,当满足式(21)的条件时,重写为

θ>(27)/(25),

可以保证b'(θ)>0恒成立.

a/b同样是调节因子θ的隐函数,对θ求导可得

((a(θ))/(b(θ)))'=1/(b²)[a'(θ)b(θ)-b'(θ)a(θ)].(52)

将式(48)和(50)代入式(52)中,联立式(26)可得

((a(θ))/(b(θ)))'=((θβ₂-aβ₁))/(2b³)(2a'(θ)-(aβ₂)/(θβ₂-aβ₁))=

(β₂(θβ₂-aβ₁))/(2b³)(h(θ))/((3m+(θβ₂)/m-2β₁)((2θβ₂)/(β₁-m)-β₁)),(53)

其中

h(θ)=β₁-3m+(2θβ₂)/(β₁-m)-(θβ₂)/m=(3m-β₁)/(m(β₁-m))·

(θβ₂-m(β₁-m)).(54)

综合式(49)可知,当θ>1时

((a(θ))/(b(θ)))'>0,(55)

h(θ)>0恒成立,所以a/b和调节因子θ正相关.

(ii)调节因子θ不变,调节λ.

综合分析式(26),考虑到式(47),易知参数a和b负相关,即a/b和调节因子λ负相关.

综上所述,增大调节因子θ或者减小λ,都会使超调量σ%减少.

峰值时间是指阶跃响应超过终值,到达第一个峰值所需的最短时间^[19].可以表示为

t_p=(π)/b.(56)

根据前面对参数a和b的分析可知,增大调节因子θ或者增大λ,都可以使峰值时间减小.

为了验证上述理论分析,设定输入v为单位阶跃信号,ω_c=5 rad/s,ω_o=20 rad/s,设置调节因子λ=80,θ分别取值为10,12,14,15,ILESO状态变量x _∧3的阶跃响应对比曲线如图1(a)所示,图中横坐标是仿真时刻,纵坐标是信号幅值.

其他条件不变,设置调节因子θ=10,λ分别取值为50,60,70,80,ILESO的状态变量x _∧3的阶跃响应如图1(b)所示.

图1(a)仿真结果说明,增大调节因子θ可以减少调节时间、超调量和峰值时间; 图1(b)说明,增大调节因子λ会增大调节时间和超调量,但峰值时间减小.该结论与上述理论分析吻合.

值得注意的是,如一直增大θ,则会破坏式(30)和(32)的约束条件,且超调量会消失,调节时间会转而增加,响应会变缓慢,因此调节因子θ不能无限增加.

设定ω_c=5 rad/s,ω_o=10 rad/s,θ=1.2,λ=1.6,此时ILESO带宽ω_b=11.17 rad/s≈ω_o.传统LESO和ILESO状态变量x _∧3的阶跃响应对比曲线如图2(a)所示,图中横坐标是仿真时刻,纵坐标是信号幅值.

若放开对ILESO带宽的限制,设定ω_c=5 rad/s,ω_o=10 rad/s,θ=8.4,λ=24,此时ILESO带宽ω_b=72.56 rad/s>ω_o.传统LESO和ILESO状态变量x _∧3的阶跃响应对比曲线如图2(b)所示.

(a)LESO和ILESO带宽相同;(b)ILESO带宽大于LESO.

图2 LESO和ILESO扰动跟踪阶跃响应曲线
Fig.2 Step response curve of LESO and ILESO's noise track

从图2(a)中可以看出,在带宽近似相同,即观测器对扰动抑制能力不变的情况下,依靠调节两个因子可以使得ILESO的峰值时间比LESO更短,响应速度更快.从图2(b)中可以看出,增大带宽可以加快系统响应速度,该结论与已有经验吻合.

综合式(1)、(3)、(7)和(9),搭建LADRC的Simulink仿真框图,并编写相应Matlab程序.将两个调节因子θ和λ分别置为1,此时ILESO等同于传统LESO.设定输入v为单位阶跃信号,LESO的带宽ω_o为20 rad/s,控制器带宽ω_c为5 rad/s,并使系统(1)控制输入系数b₀=1.

假设总扰动包含的正弦波频率为18(rad/s),矩形波周期为π(s),斜坡信号斜率为0.5,即

图3 ILESO扰动跟踪的bode图
Fig.3 Bode diagram of ILESO's noise track

仿真结果如图4所示,图中横坐标是仿真时刻,纵坐标是信号幅值,测得此时矩形波的调节时间为t_s≈0.45 s.

图4(a)～(c)依次为系统状态变量x₁、x₂、x₃和LESO观测量x _∧1(z₁)、x _∧2(z₂)、x _∧3(z₃)的对比曲线,以及LESO扰动跟踪x _∧3(z₃)的误差曲线(图4(d)).可以看出LESO跟踪误差比较大,且对矩形波的响应速度较慢.

图4 带有传统LESO的LADRC仿真曲线
Fig.4 The simulation curve of LADRC with traditional LESO

重新设置调节因子θ=1.08,λ=1.785,保持 3.1节中其余仿真参数和仿真条件不变.此时ILESO的带宽ω_b=22.6 rad/s≈ω_o,测得调节时间t_s<0.35 s,超调量σ%<12%,仿真结果如图5(a)～(d).

(a)～(d)保持ILESO观测带宽w_b≈w_o;(e)～(h)放开对ILESO观测带宽w_b的限制.

图5 带有ILESO的LADRC仿真曲线
Fig.5 The simulation curve of LADRC with ILESO

重新设置调节因子θ=15.5,λ=80,保持3.1节中其余仿真参数和仿真条件不变,此时ILESO观测带宽ω_b≈205 rad/s,仿真结果如图5(e)～(h).

从图5(a)～(d)可以看出,在与传统LESO的带宽ω_o基本保持不变的情况下,正弦波、矩形波、斜坡的暂态响应速度已经明显加快.从图5(e)～(h)可以看出,当放开对带宽的限制时,灵活改变两个调节因子θ和λ的值,矩形波的调节时间和超调量几乎可以忽略不计,正弦信号跟踪误差也大幅减小.

对比图4和图5可以看出,ILESO只需通过两个调节因子的搭配就可以优化观测器的调节时间和超调量,灵活调节暂态响应的速度和跟踪误差.