执行器饱和是实际控制系统中普遍存在的一种非线性现象,其原因是执行控制动作的执行器功率有限,通常出现在工业控制系统中,如机械、液压、生物医学、压电和物理系统.当设计控制系统未能考虑上述约束时,往往导致控制系统性能恶化甚至不稳定.例如,对于采用PID控制器的系统,将产生积分饱和现象,导致大超调并显著地延长调节时间^[1] .鉴于PID控制的广泛应用,很多文献中提出了特定条件下的抗饱和技术和方法 ^[2-5] .抗饱和设计主要有两种策略^[6]:一种是一步法,在控制器设计开始时同时考虑线性和非线性控制约束^[7-8]; 另一种是两步法,由两个阶段组成,即先不考虑饱和,设计线性模式下的控制器,然后设计一个抗饱和补偿装置来削弱饱和的影响^[9-10].因此,与一步法相比,两步法显著地降低了控制器的保守性,具备了明确的物理意义和更好的直观性,获得了工程技术人员的青睐.

由于模型不确定性不可避免,控制器的鲁棒性问题多年来一直是热门话题^[11-14].定量反馈理论(QFT)是一种频域图形化的设计方法,用于解决参数不确定性的设计问题.设计思路是,针对所选定的一系列频率点,把含有不确定性受控对象表征为Nichols图上的一系列模板,同时把对系统的性能指标要求转化为Nichols图上的边界曲线,最后通过回路整形的方式使得开环频率曲线满足复合边界的条件,从而实现对整个控制系统的设计^[15].当它和经典全局稳定性判据结合时,如对于饱和系统的圆判据、波波夫判据和基于乘子的判据,已被证明是有效的补偿器设计方法^[16].例如在QFT设计方法的基础上,Wu等^[17]利用全局稳定圆判据和系统传递函数的无超调条件,对抗饱和补偿设计的稳定性问题提出了解决方案.

抗饱和设计的鲁棒性问题也引起了研究者的关注^[18-20].Marcos等^[18]结合Weston-Postlethwaite的抗饱和框架和高性能的控制结构^[9]提出了一种鲁棒抗饱和补偿器设计的通用框架; Turner等^[19]对加性范数有界不确定性的开环对象的鲁棒性进行了研究,将问题转化为一个类似于线性H_∞控制理论的问题,并利用线性矩阵不等式推导出了其鲁棒稳定的充分条件; Morales等^[20]研究了抗饱和框架下系统的鲁棒稳定性,建立了对于结构范数有界不确定性的稳定鲁棒性和最优鲁棒性的充分条件.可见,抗饱和系统的鲁棒稳定性不可忽略.

本文考虑到物理信号总是有界的事实,用一个更加紧凑的扇形区域来描述实际的饱和环节,提出了一种改进圆判据; 在两步法设计基础上,结合三自由度(3-DOF)的抗饱和框架与 QFT技术,给出了基于该判据的抗饱和QFT设计方法,解决抗饱和补偿器的鲁棒设计问题.

考虑线性时不变系统P(s)∈,

P(s)=(B(s))/(A(s)),(1)

其中A(s)和B(s)是实互质多项式,形如:

A(s)=a₀sⁿ+a₁s^n-1+…+a_n-1s+a_n,(2)

B(s)=b₀s^m+b₁s^m-1+…+b_m-1s+b_m.(3)

a_i和b_i的不确定性分别描述为以下区间的形式:

a_i∈[a_i,a^-_i]和b_i∈[b_i,b^-_i].(4)

饱和非线性Sat(·)被定义为:

u _∧=Sat(u)={u_min,u<u_min,

u,u∈[u_min,u_max],

u_max,u>u_max.(5)

在Nichols图上,式(1)～(3)描述的不确定被控对象P(s)∈可以描述为任意频率点的一个模板:

_P(ω)={P(iω)|P∈}.

本文抗饱和方案采用3-DOF抗饱和框架,如图1所示^[21].其中,F(s)、C(s)和H(s)分别是前置滤波器、控制器和抗饱和补偿器.两步法中,首先F(s)与C(s)的设计在第一步完成,即不考虑饱和环节条件下按线性控制系统的设计方法进行; 第二步考虑饱和环节进行补偿器H(s)的鲁棒稳定设计,正是本文所研究的内容.

图1 3-DOF的抗饱和框架
Fig.1 3-DOF anti-windup structure

考虑线性不确定对象

P(s)=5/s·(a^-1s+1)/(b^-1s+1),(13)

其中,

a∈[0.5,0.7],b∈[0.04,0.1].(14)

饱和环节的上下界依次定义为:

u_max=1,u_min=-1.

前置滤波器F(s)和控制器C(s)为事先确定:

F(s)=1,C(s)=(6s+5)/s.

假定k=0.8,首先在Nichols图上确定由饱和环节的扇形描述S[0.8,1]所定义的关于K_λ(iω)的稳定性区域; 选取系列频率点ω={0.01,0.1,0.5,1,10},分别取式(13)中对象不确定参数a,b的4个区间顶点作为模板,如图6所示.根据定理2,获得鲁棒稳定的补偿器如下:

H(s)=(30s+15)/(s(s+0.18)).

后者用带乘子的圆判据方法得到的补偿器如下:

H(s)=(100.25s+20)/(s(s+0.05)).

由图6可知,对象不确定性表现为Nichols图上的模板区域,其Nichols并没有进入圆盘对应的不稳定区域内,满足定理2的稳定性要求.分别取对象参数不确定区间4个顶点作仿真,比较了本文所设计补偿器与文献[1]补偿器的闭环系统阶跃响应,如图7所示.可以看出,在受控对象参数不确定条件下,本文所设计补偿器的阶跃响应性能均明显优于

图6 Kλ(iωi)的Nichols图
Fig.6 Nichols diagram ofKλ(iωi)

图7 位于不确定性区域4个顶点系统阶跃响应的比较
Fig.7 Step-response comparison for different sectors at four plant vertexes

文献[1]所设计的补偿器.

基于系统实际信号总是有界的事实,本文提出一种改进的圆判据,并利用该判据进行抗饱和的补偿器设计,显著地降低了抗饱和补偿器设计的保守性.通过两步法,结合QFT将圆判据表征为Nichols上的稳定性区域,使整个设计过程显得更加直观简洁.在保证对象不确定时系统稳定性的前提下,本文所提供的设计方法,显著地提高了闭环系统的控制品质.数值算例验证了该方法的有效性.