(1.厦门理工学院应用数学学院,福建 厦门 361024; 2.厦门大学数学科学学院,福建 厦门 361005)
(1.School of Applied Mathematics,Xiamen University of Technology,Xiamen 361024,China; 2.School of Mathematical Sciences,Xiamen University,Xiamen 361005,China)
DOI: 10.6043/j.issn.0438-0479.201807014
证明了度量凸函数的一个类似凸分析中Brondsted-Rockafellar定理的结论, 并刻画了下半连续度量凸函数的结构; 证明了完备一致凸双曲度量空间上渐近非扩张算子半群公共不动点的存在性和该半群的弱星紧性.
We prove one conclusion of metrically convex functions which is similar to Theorem Brondsted-Rockafellar in convex analysis,and we characterize the structure of lower semicontinuous metrically convex functions.We obtain that there exist common fixed points for semigroups of asymptotically nonexpensive mappings acting in a complete and uniformly convex metric space which is hyperbolic and such semigroups are weak star compact.
众所周知, 凸性在Banach空间上的凸分析和不动点理论中扮演重要角色. 把这些经典结果推广到度量空间, 是自然的问题.
一方面, Soltan等[1-7]在20世纪80年代的图论领域引入度量凸函数概念. Krynski[8]在1993年给出赋范空间上度量凸函数的代数结构. 但是较少人关注度量凸函数的拓扑性质. 这类函数在非离散型空间上的连续性和可微性是本文中研究内容的一部分.
定义1[9] 度量空间(D,d)是度量凸的, 当且仅当对x,y∈D,0<β<1,存在z∈D使得
d(x,z)=βd(x,y),d(z,y)=(1-β)d(x,y).
当z唯一时(记为(1-β)xβy),D称为凸度量空间.
定义2[10] (D,d)是双曲度量空间, 当且仅当(D,d)度量凸且
d(1/2p1/2x,1/2p1/2y)≤1/2d(x,y),p,x,
y∈D.
显然赋范空间是双曲度量空间. 另外存在一些非线性的例子, 如Hadamard流形[11]、赋予双曲度量的Hilbert开单位球[12]以及CAT(0)空间[13-15].
双曲度量空间D的子集C是凸的, 当且仅当x,y∈C,0<β<1,有(1-β)xβy∈C.
定义3[16-19] 设D是双曲度量空间.D一致凸, 当且仅当 任意a∈D,r>0,>0,有δ(r,)=inf{1-1/rd(1/2x1/2y,a); d(x,a)≤r,d(y,a)≤r,d(x,y)≥r}>0.
定义4 F是度量空间(D,d)上的度量凸函数, 当且仅当
F(z)≤(d(z,y))/(d(x,y))F(x)+(d(x,z))/(d(x,y))F(y),x,y,z∈
D,d(x,z)+d(z,y)=d(x,y).
当D是完备双曲一致凸度量空间, 给定y∈D时, 映射d(·,y):D→R是度量凸函数[19].
另一方面,凸性也应用于不动点问题.20世纪60年代初,压缩映射族和非扩张映射族公共不动点的存在性成为研究热点[20-25].人们也利用渐近方法寻求公共不动点[26-31].本文中证明出: 完备一致凸双曲度量空间上渐近非扩张算子半群公共不动点的存在性,并证明该半群是弱星紧集.
定义5 设C是度量空间D的有界闭凸子集, 则一族从C到C的算子={T(t):t≥0}是Lipschitz半群, 当且仅当满足如下条件:
(i)任意x∈C,T(0)x=x;
(ii)任意x∈C,任意t,s≥0,T(t+s)x=T(t)T(S)x;
(iii)任意x∈C,T(t)x在t∈[0,∞)上连续;
(iv)任意t≥0,存在kt>0,使得d(T(t)x,T(t)y)≤ktd(x,y),x,y∈C.
Lipschitz算子半群是非扩张的,当且仅当任意t≥0,kt=1.是渐近非扩张的, 当且仅当limt→∞kt=1.
度量凸函数是凸函数概念的推广. 二者是否具有类似的拓扑性质, 是一个自然的问题. 答案是肯定的. 定理1和定理2是本节的主要结果.
首先, 正如次微分在凸分析中扮演重要角色, 在本文中为度量凸函数引入一种新的次微分.
定义6 设F是度量凸空间D上的度量凸函数,x∈D.若存在λ>0使得
F(y)-F(x)≥-λd(y,x),y∈D,
本文中定义-λd(·,x)为F在x的d-次微分.
下面的引理1和引理2有助于我们证明定理1.
引理1[32] 度量空间等距同构于某个Banach空间的子集.
引理1说明: 在等距嵌入意义下, 每个度量空间可视为某个Banach空间的子集, 且度量凸性是不变的. 这为非线性问题提供一种新方法.
引理2[33] 设F是定义在Banach空间X上的真, 下半连续, 有下界函数. 任意>0,F(x0)<inf{F(x):x∈X}+,则任意λ且0<λ<1, 存在有效定义域dom F上的z, 使得
(i)λ‖z-x0‖≤F(x0)-F(z),
(ii)‖z-x0‖</λ,
(iii)λ‖x-z‖+F(x)>F(z),x≠z.
引理2在非线性分析中有广泛应用, 也被应用于定理1的证明.
定理1 设D是完备度量凸空间,F是D上的下半连续度量凸函数, 则d-次微分存在的点在有效定义域dom F中稠密.
证明 根据引理1, 在等距映射下, 存在Banach空间X使得(D,d)(X,‖·‖),其中的度量d由范数‖·‖诱导.定义F^～:X→R∪{+∞},
F^～(x)={F(x), x∈D,
+∞, x∈^-D.
显然F^～下半连续. 对于任意>0和x0∈dom F, 令H:X→R∪{+∞},
H(x)={F^～(x), F^～(x)>F(x0)-/2,
F^～(x0)-/2, F^～(x)≤F(x0)-/2.
易知H下半连续, 有下界且
H(x0)=F(x0)<(F(x0)-/2)+≤inf H+.
因F下半连续, 所以存在0<δ<,
{x∈D,d(x,x0)<δ}{x∈D,F(x)>
F(x0)-/2}.
根据引理2, 对于λ=/δ,存在z∈dom H=dom FD满足
1)‖z-x0‖</λ=δ<;
2)λ‖x-z‖+H(x)>H(z),x≠z.
因为存在r>0使得{x∈D:d(x,z)<r}{x∈D:d(x,x0)<δ},则
F(x)>F(x0)-/2,x∈{x∈D:d(x,z)<
r},
所以F(x)=F^～(x)=H(x).则
λ‖x-z‖+F(x)>F(z),x∈{x∈
D:d(x,z)<r}\{z}.
对于y∈D,y≠z且x∈{x∈D:d(x,z)<r,x≠z,d(z,x)+d(x,y)=d(z,y)},有
F(y)+λd(y,z)≥{d(z,y)[F(x)+λd(x,z)]-d(x,y)F(z)}/d(x,z)>{d(z,y)F(z)-d(x,y)F(z)}/d(x,z)=F(z),
即F(y)-F(z)>-λd(y,z).则F在z有d-次微分. 证毕.
定理1类似Banach空间凸分析[33]的Brondsted-Rockafellar定理. 现在我们在定理1的基础上, 刻画该函数的结构, 这是本文第2个主要结论.
定理2 D是完备度量凸空间,F是D上下半连续度量凸函数, 则
(i)F(x)=sup{F(z)-λd(x,z):λ>0,z∈dom F,y∈D,F(y)-F(z)≥-λd(y,z)},
(ii)上确界能够达到, 当且仅当F在x存在d-次微分.
证明(i)设z∈dom F,λ>0满足
F(z)-λd(y,z)<F(y),y∈D.
根据定理1, 这样的z在dom F中稠密. 则对于任意x0∈dom F,有
F(x0)≥sup{F(z)-λd(x0,z):λ>0,z∈dom F,y∈D,F(y)-F(z)≥-λd(y,z)}.
根据定理1的证明, 对于任意>0,存在δ且0<δ<,有
F(z)>F(x0)-/2,z∈D,d(z,x0)<δ.
对于λ=/δ,存在z∈dom F且d(z,x0)</λ=δ<,使得
F(z)-λd(y,z)≤F(y),y∈D,
因此F(z)-λd(x0,z)>F(x0)-/2-,则F(x0)<F(z)-λd(x0,z)+(3)/2.于是
F(x0)<sup{F(z)-λd(x0,z):λ>0,z∈dom F,y∈D,F(y)-F(z)≥-λd(y,z)}+(3)/2.
令→0,则
F(x0)≤sup{F(z)-λd(x0,z):λ>0,z∈dom F,y∈D,F(y)-F(z)≥-λd(y,z)}.
综上所述,
F(x0)=sup{F(z)-λd(x0,z):λ>0,z∈dom F,y∈D,F(y)-F(z)≥-λd(y,z)}.
(ii)因为存在λ>0,z∈dom F,
F(y)-F(z)>-λd(y,z),
F(x)=F(z)-λd(x,z),y∈D,y≠z,
则x=z.则对于任意y∈D且y≠x,有F(y)-F(x)>-λd(y,x).则F在x存在d-次微分.
又因为存在λ>0使得
F(y)-F(x)>-λd(y,x),y∈D,y≠x,
且
F(x)=F(x)-λd(x,x),
所以上确界能够达到.
Tan等[26]应用凸性证明出Banach空间渐近非扩张算子半群的遍历定理. 本文中借助度量凸函数, 利用类似方法研究渐近非扩张算子半群的公共不动点.
引理3[34] 设D是完备、一致凸、双曲度量空间, 则任意单调不增、非空、凸、有界、闭子集族有非空的交集.
下面给出本文第3个主要结论, 其类似于一致凸Banach空间的相关定理[35].
定理3 设D是完备、一致凸、双曲度量空间,C是D的有界闭凸子集,={T(t):t≥0}是C上渐近非扩张算子半群,则存在公共不动点, 且公共不动点集是闭凸集.
证明 首先证明F()非空. 取C中一点x,令
r(y)=lim^-t→∞ d(T(t)x,y),y∈C.
因d(T(t)x,·)的连续性和凸性[19], 则r是C上连续度量凸函数. 对于任意t,{y∈C:r(y)≤t}是闭凸集,根据引理3, 存在C中的点z, 使得
r(z)=inf{r(y):y∈C}=:r.
现在证明z是的公共不动点. 即: 任意t≥0有T(t)z=z.这需要如下说明:
T(t)z→z,t→∞.
若不然, 则存在子列{T(tn)z},且存在0>0, 使得
d(T(tn)z,z)≥0,n=1,2,….
可以设r>0,选取>0, 使得
(r+)(1-δ(r+,(0)/(r+)))<r,
其中δ是D的凸性模. 令η>0充分小, 使得η<且(1+η)(r+η)<r+.本文中选取充分大的t0,使得当t≥t0时,kt<1+η且d(T(t)x,z)<r+η.最后选取N使得s:=tN>t0.现在得到:对于所有的t≥t0,
d(T(t+s)x,T(s)z)≤ksd(T(t)x,z)≤(1+
η)(r+η)<r+
且
d(T(t+s)x,z)≤r+η<r+,
则
r≤lim^-t→∞ d(T(t+s)x,1/2T(s)z1/2z)≤(r+
)(1-δ(r+,(0)/(r+)))<r.
矛盾!说明成立.
现在证明: 对于每个t,T(t)z=z.若不然, 则存在t0使得T(t0)z≠z.由T(t0)的连续性推出
T(t+t0)z=T(t0)[T(t)z]→T(t0)z,t→∞.
另一方面,
T(t+t0)z→z,t→∞.
这又是一个矛盾.
每个F(T(t))是闭凸集, 则F()=∩t≥0F(T(t))也是闭凸集. 证毕.
彭济根等[36]引入Banach空间的一种新的对偶空间,即Lipschitz对偶空间. Banach空间的Lipschitz对偶空间是某个包含E的Banach空间的线性对偶空间. 任何非线性 Lipschitz算子的Lipschitz对偶算子是有界线性算子. 所获结果为推广线性算子理论到非线性情形开辟一条新途径. 本文中利用这些理论, 得到渐近非扩张算子半群是弱星紧集(定理4).
定义7[36] 设E,X为Banach空间,E*是E的对偶空间.C,B分别为E,X的闭子集(不一定有界).T:C→B是Lipschitz算子, 当且仅当存在L>0,使得
‖Tx-Ty‖≤L‖x-y‖,x,y∈C.
对于每个Lipschitz算子T, 定义其最小Lipschitz常数为
L(T)=supx≠y(‖Tx-Ty‖)/(‖x-y‖).
若记Lip{C,B}={T:C→B|T为Lipschitz算子},则易验证L(·)为Lip{C,B}上的半范数. 明显地, 若T为E到X的有界线性算子, 则T在C上的限制TC∈Lip{C,B},且L(TC)≤‖T‖(特别地, 当C包含E的单位球时,L(TC)=‖T‖).
证明定理4需要一些引理[35].
引理4[36] 设0∈C,Lip0{C,B}={T∈Lip{C,B}|T(0)=0},则L(·)是Lip0{C,B}上的范数, 且{Lip0{C,B},L(·)}为Banach空间.
注1 设C是完备一致凸双曲度量空间D的有界闭凸子集, 可视为Banach空间l∞(D)的子集,={T(t):t≥0}是C上渐近非扩张算子半群. 则根据定理3,存在一个公共不动点x.不失一般性,令不动点x=0.因此Lip0{C,C}.即:是Banach空间{Lip0{C,C},L(·)}的子集.
引理5[36] 设J={j(x,y)∈(Lip0{C,X*})*|x∈C,y∈X},其中j(x,y):Lip0{C,X*}→R,T→(Tx,y).G=span^- J,则Lip0{C,X*}等距同构于G的线性对偶空间G*.
注2 因为度量空间D等距嵌入l∞(D),同时l∞(D)=(l1(D))*, 令X=l1(D),X*=(l1(D))*=l∞(D),则Lip0{C,C}等距嵌入G*.
引理6[36] 设{Tσ}Lip0{C,X*}有界网,T∈Lip0{C,X*},则{Tσ}弱星收敛于T, 当且仅当x∈C,{Tσx}弱星收敛于Tx.
下面给出本文中第4个主要结论.
定理4 设D是完备、一致凸、双曲度量空间,C是D的有界闭凸子集,C上渐近非扩张算子半群={T(t):t≥0}(Lip0{C,[l1(D)]*})是对偶空间的有界子集, 从而是弱星紧集.
证明 因为当t→∞.时,L(T(t))→1,所以={T(t):t≥0}(Lip0{C,[l1(D)]*})是对偶空间的有界子集, 从而是弱星紧集. 证毕.
