定义1[5-6] 对于实四元数体上的任意一个矩阵M=M0+M1j,(M0,M1∈Cm×n),定义
Φ(M)=(M0 M1
-M^-1 M^-0)∈C2m×2n
为矩阵M的复表示矩阵.
依照定义1,不难验证四元数矩阵的复表示矩阵具有以下性质.
引理1[5-6] 对于任意矩阵M、N∈Hm×n,
(i)M=NΦ(M)=Φ(N);
(ii)Φ(M+N)=Φ(M)+Φ(N),Φ(MN)=
Φ(M)Φ(N),Φ(kM)=kΦ(M),(k∈R);
(iii)Φ(M)^-=R-12mΦ(M)R2n,这里
R2t=(0 -It
It 0),(t=m,n);
(iv)r(Φ(M))=2r(M);
(v)Φ(MH)=(Φ(M))H.
引理2[5-6] 对于任意矩阵M∈Hm×n,
(i)(Φ(M+))=(Φ(M)+);
(ii)Φ(RM)=RΦ(M),Φ(LM)=LΦ(M).
引理3[5-6] 对于任意复矩阵Y∈C2m×2n,存在唯一一个四元数矩阵X∈Hm×n,满足
Φ(X)=1/2(Y+R2mY^-R-12n).
下面介绍类似于方程(1)的复矩阵方程有解的充要条件,文献[3]中的相关结论在复数域上自然成立.
引理4[3] 设复矩阵A^～∈Cm×p、B^～∈Cq×n、C^～∈Cm×n都已知,那么复矩阵方程
A^～X^～B^～=C^～(2)
有解的充要条件为
A^～A^～+C^～B^～+B^～=C^～,
其通解可表示为
X^～=A^～+C^～B^～++LA～U^～+V^～RB～,
其中U^～、V^～为具备适当行列数的任意复矩阵.
本文中还用到下列有关分块矩阵秩的引理.
引理5[7-8] 设矩阵A∈Cm×n、B∈Cm×k、C∈Cl×n、D∈Cj×k、E∈Cl×i,那么它们满足:
(i)r(C LA)=r(A
C)-r(A),
r(RBA)=r(B A)-r(B);
(ii)r(B ALC)=r(B A
0 C)-r(C),
r(C
RBA)=r(C 0
A B)-r(B);
(iii)r(RBALC)=r(A B
C 0)-r(B)-r(C),
r(A BLD
REC 0)=r(A B 0
C 0 E
0 D 0)-
r(D)-r(E).
引理6[7-8] 假设矩阵A∈Cm×n、B1∈Cm×p、B1∈Cq×n已知,那么对于任意复变量矩阵X1∈Cp×n和X2∈Cm×q:
maxX1,X2 r(A-B1X1-X2C2)=
min{m,n,r(A B1
C2 0)},
minX1,X2 r(A-B1X1-X2C2)=r(A B1
C2 0)-
r(B1)-r(C2).
下面,考察四元数矩阵方程(1)中的复矩阵解集极秩.
定理1(i)设四元数矩阵A=A0+A1j∈Hm×p、B=B0+B1j∈Hq×n、C=C0+C1j∈Hm×n都已知,那么四元数矩阵方程(1)有解的充要条件是复矩阵方程
Φ(A)X^～Φ(B)=Φ(C)(3)
有解.
(ii)如果四元数矩阵方程(1)可解,记
S0={X0∈Cp×q|A(X0+X1j)B=C},
S1={X01∈Cp×q|A(X0+X1j)B=C},
那么
maxX0∈S0 r(X0)=min{p,q,p+q+
r(0 -B^-1 B^-0
A1 C0 C1
A^-0 -C^-1 C^-0)-2r(A)-2r(B),(4)
minX0∈S0 r(X0)=r(0 -B^-1 B^-0
A1 C0 C1
A^-0 -C^-1 C^-0)-r(A1
A^-0)-
r( B^-1 B^-0),(5)
maxX1∈S1 r(X1)=min{p,q,p+q+
r(0 B0 B1
A1 C0 C1
A^-0 -C^-1 C^-0)-2r(A)-2r(B),(6)
minX1∈S1 r(X1)=r(0 B0 B1
A1 C0 C1
A^-0 -C^-1 C^-0)-r(A1
A^-0)-
r(B B1).(7)
证明(i)如果四元数矩阵方程(1)至少有一特解X,那么X满足方程(1),对该等式两边都取四元数矩阵实表示,可得
Φ(A)Φ(X)Φ(B)=Φ(C),
这意味着复矩阵方程(3)至少有一特解Φ(X).
反之,如果复矩阵方程(3)至少有一特解X^～,那么对X^～满足方程(3)的等式两边同取共轭矩阵,可得
Φ(A)^-X^～^-Φ(B)^-=Φ(C)^-.
根据引理1中的性质(iii),可知
R-12mΦ(A)R2pX^～^-R-12qΦ(B)R2n=R-12mΦ(C)R2n,
这意味着R2pX^～^-R-12q也是复矩阵方程(3)的一特解.由复矩阵方程(3)的线性性质可知1/2(X^～+R2pX^～^-R-12q)也是复矩阵方程(3)的一特解.根据引理3可知,一定存在一四元数矩阵X ∧,满足
Φ(X ∧)=1/2(X^～^-+R2pX^～^-R-12q),
即X ∧就是四元数矩阵方程(1)的一特解.
(ii)如果四元数矩阵方程(1)可解,那么复矩阵方程(3)也可解.根据引理4,
(Φ(A))(Φ(A))+Φ(C)(Φ(B))+(Φ(B))=Φ(C),
且方程(3)的通解为
X^～=(Φ(A))+Φ(C)(Φ(B))++LΦ(A)U+VRΦ(B)∈
C2p×2q,(8)
其中U∈C2p×2q、V∈C2p×2q为任意复矩阵.不妨将X^～、U、V分别用分块矩阵
X^～=(X^～1 X^～2
X^～3 X^～4),U=2(U1 U2
U3 U4),V=2(V1 V2
V3 V4)
表示,这里,X^～i∈Cp×q、Ui∈Cp×q、Vi∈Cp×q,且Ui、Vi任意(i=1,2,3,4); 再引进一组矩阵
P1=(Ip 0),P2=(0 Ip),Q1=(Iq
0),Q2=(0
Iq),
那么由方程(3)通解表达式(8)可知
X^～1=P1X^～Q1=
P1(Φ(A))+Φ(C)(Φ(B))+Q1+
2P1LΦ(A)(U1 U2
U3 U4)Q1+2P1(V1 V2
V3 V4)RΦ(B)Q1=
P1(Φ(A))+Φ(C)(Φ(B))+Q1+
2P1LΦ(A)(U1
U3)+2(V1 V2)RΦ(B)Q1,
X^～4=P2X^～Q2=
P2(Φ(A))+Φ(C)(Φ(B))+Q2+
2P2LΦ(A)(U2
U4)+2(V3 V4)RΦ(B)Q2.
对上式中的X^～4取共轭,得
X^～^-4=P2R-12p(Φ(A))+R2mR-12mΦ(C)R2nR2n-1
(Φ(B))+R2qQ2+2P2R-12pLΦ(A)R2p(U^-2
U^-4)+
2(V^-3 V^-4)R-12qRΦ(B)R2qQ2,
而P2R-12p=P1,R2qQ2=Q1,R2p(U^-2
U^-4)=(-U^-4
U^-2),(V^-3 V^-4)R2q-1=(-V^-4 V^-3),根据引理3和本定理(i)的证明可知,对于方程(3)的任意一个解X^～=(X^～1 X^～2
X^～3 X^～4),存在唯一一个四元数矩阵X=1/2(X^～1+X^～^-4)+1/2(X^～2-X^～^-3)j,X就是四元数矩阵方程(1)的解,其前复矩阵分量
X0=1/2(X^～1+X^～^-4)=
P1(Φ(A))+Φ(C)(Φ(B))+Q1+
P1LΦ(A)(U1-U^-4
U3+U^-2)+
(V1-V^-4 V2+V^-3)RΦ(B)Q1.
记
P1(Φ(A))+Φ(C)(Φ(B))+Q1=A ∧,
P1LΦ(A)=B ∧,RΦ(B)Q1=C ∧,
由Ui和Vi(i=1,2,3,4)的任意性可知,(U1-U^-4
U3+U^-2)和(V1-V^-4 V2+V^-3)为任意复矩阵,结合引理6可知
maxX0∈S0 r(X0)=min{p,q,r(A ∧ B ∧
C ∧ 0)},
minX0∈S0 r(X0)=r(A ∧ B ∧
C ∧ 0)-r(B ∧)-r(C ∧).
上述各矩阵的秩均可按引理5进行化简,得秩等式(4)和(5).
用类似的方法和步骤[9]可以证明极秩等式(6)和(7)也成立.
