众所周知,近年来许多学者对随机 N-策略下的排队系统进行了深入的研究(见文献[1-14]和其中引用的

参考文献). Yadin等^[1]首次考虑了随机 N-策略下的排队系统.之后很多学者广泛地推广了这类系统.例如,Kella^[2]研究了带假期的N-策略 M/G/1排队系统.Borthakur等^[3]将带有指数性启动时间的M/M/1排队模型^[4]推广到了带有一般启动时间的情况.Lee等^[5]研究了带单休假和多个假期的批量到达的 N-策略 M/G/1排队系统.1991年Takagi^[6]给出了关闭期的概念,有很多学者对这类排队模型进行了研究.Ke^[7]给出了一类具有故障、启动及关闭期的M/G/1排队系统并对其进行了研究.Liu等^[8]讨论了带启动和关闭期的N-策略下的两种不同类型的 M/G/1 排队系统.具有随机 N-策略的 M/G/1排队模型也被许多作者进行了研究^[9-10].Feng等^[9]通过向量马尔科夫过程的方法研究了带关闭期的随机 N-策略和休假策略的 M/G/1排队模型并且得到了该系统处于稳态的充分必要条件.

本文中主要研究带关闭期的随机N-策略的 M/G/1 排队系统.本系统的规律是: 系统空的时候不要立即结束服务而是在一段关闭期之后才结束.如果在这关闭期有一个顾客到达了,则立即对其进行服务.如果这顾客关闭期间离开了,则关闭期结束系统立即进入假期阶段.休假时间遵循随机 N-策略: 服务器正处于假期,假期结束时概率为 d_N,并在系统中有N个顾客时开始服务,这里 ∑^∞_N=1d_N=1.系统的假期是指系统关闭期结束到开始服务的一段时间.该排队模型的忙期是指从假期结束开始(系统为第一个顾客开始服务)到系统空闲(系统没有顾客)并进入关闭期的一段时间.

本文中在以下假设下讨论该排队模型:

1)顾客到达时间间隔 τ_n 是相互独立且服从同分布,服从于参数为 λ^-1(λ>0) 的负指数分布,即

P{τ_n≤t}=1-e^-λt, n=1,2,….

2)顾客服务时间 G 与关闭时间 C 均是连续随机变量并具有以下分布:G(t)=1-e^-∫t₀μ(x)dx,C(t)=1-e^-∫t0ω(x)dx.

3)以上都是相互独立的随机变量.

4)顾客进入系统后要等到服务开始.

5)服务基于先到先服务的规则进行,系统有无限的排队空间.

本文中根据 Hille-Yosida 定理,Phillips 定理与 Fattorini 定理,证明具有多个工作休假和休假中断的 M/G/1 排队系统存在唯一非负的满足概率条件的时间依赖解.

根据文献[9],该模型可表示如下:

(p₁(t,x))/(t)+(p₁(t,x))/(x)=-(λ+μ(x))p₁(t,x),(1)

(p_i(t,x))/(t)+(p_i(t,x))/(x)=-(λ+μ(x))p_i(t,x)+

λp_i-1(t,x), i≥2,(2)

(dκ_ij(t))/(dt)=-λκ_ij(t)+λκ_i,j-1(t), i=2,3,…,

j=1,2,…,i-1,(3)

(dκ_i0(t))/(dt)=-λκ_i0(t)+d_i∫⁰_∞q(t,u)ω(u)du,

i=1,2,…,(4)

(p(t,u))/(t)+(p(t,u))/(u)=-(λ+ω(u))q(t,u),(5)

p₁(t,0)=∫^∞₀p₂(t,x)μ(x)dx+

λ∫^∞₀q(t,u)du+λκ₁₀(t),(6)

p_i(t,0)=∫^∞₀p_i+1(t,x)μ(x)dx+λκ_i,i-1(t),

i=2,3,…,(7)

q(t,0)=∫^∞₀p₁(t,x)μ(x)dx,(8)

κ_i0(0)= d_i,p_i(0,x)=0,i=1,2,…,

q(0,x)=0.(9)

其中,p_i(t,x)dx(i≥1)表示在时刻t时系统有 i 个顾客以及服务员正在对一个顾客进行服务并且该顾客所消耗的服务时间在 x 和 x+dx 之间的概率.κ_ij(t)(i≥1,j=0,1,…,i-1)表示在时刻t时系统有j个顾客及服务员正在休假并且当系统有 i 个顾客时系统以 d_i 的概率开始服务的概率.∑^∞_i=1 q(t,u)du表示在时刻t时系统正处于关闭期并且所关闭时间在 u 和 u+du,之间的概率.μ(x)和 ω(u)分别代表系统处于忙期和关闭期时的风险率函数,它们满足

μ(x)≥0,

∫^∞₀μ(x)dx=∞,

0<∫^∞₀e^-∫x₀μ(τ)dτdx<∞,

ω(u)≥0,

∫^∞₀ω(u)du=∞.交通强度为

ρ=λ∫^∞₀e^{-∫x₀μ(τ)dτ}dx.

为了方便,引入以下符号:

Γ₁=(0 μ(x)0 0 …

0 0 μ(x)0 …

0 0 0 μ(x)…

0 0 0 0 …

    ),

(i(i+1))/2 _{

Γ₂={λ 0 0 0 0 0 … 0 0 0 …

0 0 λ 0 0 0 … 0 0 0 …

0 0 0 0 0 λ … 0 0 0 …

          

0 0 0 0 0 0 … 0 λ 0 …

          },

Γ₃=(λ,0,0,…)T,

Γ₄=(μ(x),0,0,…).

取状态空间X如下:

X={(p,κ,q)|p∈X₁,κ∈Z,q∈L¹[0,∞),

‖(p,κ,q)‖=‖p‖_X1+|κ|+‖q‖_L¹[0,∞)},

其中:

X ₁={p∈L¹[0,∞)×L¹[0,∞)×…|‖p‖=

∑^∞_n=1‖p_n‖_L¹[0,∞)<∞},

Z={κ∈l¹||κ|=∑^∞_i=1∑^i-1_j=0|κ_ij|<∞},

显然,X是一个Banach空间.令

D(A)={(p,κ,q)∈X〖JB<2|〗(dp_n(x))/(dx)∈L¹[0,∞),

(dq(u))/(du)∈L¹[0,∞),

p_n(x),q(u)均是绝对连续函数,且

p(0)=∫^∞₀Γ₁p(x)dx+Γ₂κ+∫^∞₀Γ₃q(u)du,

q(0)=∫^∞₀Γ₄p(x)dx}.

对(p,κ,q)∈D(A),定义算子 A 为

Ap=(-(d)/(dx)-λ-μ(x)0 …

0 -(d)/(dx)-λ-μ(x)…

0 0 …

0 0 …

  )(p₁(x)

p₂(x)

p₃(x)

p₄(x)

),

Aκ=(-λ 0 0 … 0 0 …

0 -λ 0 … 0 0 …

0 λ -λ … 0 0 …

      

0 0 0 … -λ 0 …

0 0 0 … λ -λ …

      )(κ₁₀

κ₂₀

κ₂₁



κ_i,0

κ_i,1

),

Aq=(-(d)/(du)-λ-ω(u))q(u).

如果对 (p,κ,q)∈X 定义算子 B 为如下:

Bp=(0 0 0 0 …

λ 0 0 0 …

0 λ 0 0 …

0 0 λ 0 …

    )(p₁

p₂

p₃

p₄

),

Bκ=(d₁ 0 0 … 0 0 …

0 d₂ 0 … 0 0 …

0 0 0 … 0 0 …

      

0 0 0 … d_i 0 …

0 0 0 … 0 0 …

      )

(∫^∞₀q(u)ω(u)du

∫^∞₀q(u)ω(u)du

∫^∞₀q(u)ω(u)du



∫^∞₀q(u)ω(u)du

∫^∞₀q(u)ω(u)du

),

Bq=0,

D(B)=X,

则该模型即方程组(1)～(9)可转化成 Banach 空间 X 中的抽象 Cauchy 问题,即

(d(p,κ,q)(t))/(dt)=(A+B)(p,κ,q)(t), t∈[0,∞),

(d₁,d₂,0,d₃,0,0,d₄,0,0,0,…),(10)

(p,κ,q)(0)=((0,0,…),(d₁,d₂,0,…,

d_i,0,…,0^{ⁱ,d_i+1,0,…),(0)).(11)

本文中始终假定

M=sup_x∈[0,∞)μ(x)<∞.

定理1 算子A 生成正 C₀-半群 T(t).

证明 首先证明如果 γ>M-λ,则(γI-A)^-1 存在并满足 ‖(γI-A)^-1‖<1/(γ+λ-M). 对(y,π,z)∈X,考虑方程(γI-A)(p,κ,q)=(y,π,z)有

(dp_i(x))/(dx)=-(γ+λ+μ(x))p_i(x)+y_i(x),

i=1,2,…,(12)

(γ+λ)κ_i0=π_i0,i=1,2,…,(13)

(γ+λ)κ_ij=λκ_i,j-1+π_ij,i=2,3,…,

j=1,2,…,i-1,(14)

(dq(u))/(du)=-(γ+λ+ω(u))q(u)+z(u),(15)

p₁(0)=∫^∞₀ p₂(x)μ(x)dx+

λ∫^∞₀ q(u)du+λκ₁₀,(16)

p_i(0)=∫^∞₀p_i+1(x)μ(x)dx+λκ_i,i-1,

i=2,3,…,(17)

q(0)=∫^∞₀p₁(x)μ(u)dx.(18)

由式(12)和(15)有

p_i(x)=e^-∫x₀(γ+λ+μ(τ))dτ(a_i+

∫^x₀y_i(τ)e^∫τ₀(γ+λ+μ(ξ))dξdτ),i≥1,(19)

p(u)=e^-∫u₀(γ+λ+μ(τ))dτ(b_i+

∫^u₀z(τ)e^∫τ₀(γ+λ+μ(ξ))dξdτ).(20)

由式(19)～(20)以及式(16)～(18)得

a₁=p₁(0)=

a₂∫^∞₀μ(x)e^-∫x₀(γ+λ+μ(τ))dτdx+

λb∫^∞₀e^∫u₀(γ+λ+ω(τ))dτdu+

∫^∞₀μ(x)∫^∞₀y₂(τ)e^-∫x_τ(γ+λ+μ(ξ))dξdτdx+

λ∫^∞₀∫^u₀z(τ)e^-∫u_τ(γ+λ+μ(ξ))dξdτdu+λκ₁₀,(21)

a_i=p_i(0)=

a_i+1∫^∞₀μ(x)e^-∫x₀(γ+λ+μ(τ))dτdx+

∫^∞₀μ(x)∫^x₀y_i+1(τ)e^-∫x_τ(γ+λ+μ(ξ))dξdτdx+

λκ_i,i-1, i≥2,(22)

b=q(0)=

a₁∫^∞₀μ(x)e^-∫x₀(γ+λ+μ(τ))dτdx+

∫^∞₀μ(x)∫^x₀y₁(τ)e^-∫x_τ(γ+λ+μ(ξ))dξdτdx.(23)

将式(23)带入(21)得

(1-λ∫^∞₀e^-∫u₀(γ+λ+μ(τ))dτdu,

∫^∞₀μ(x)e^-∫x₀(γ+λ+μ(τ))dτdx)a₁=

a₂∫^∞₀μ(x)e^-∫x₀(γ+λ+μ(τ))dτdx+

λ∫^∞₀e^-∫u₀(γ+λ+μ(τ))dτdu·∫^∞₀μ(x)∫^∞₀y₁(τ)

e^-∫x_τ(γ+λ+μ(ξ))dξdτdx+

∫^∞₀μ(x)∫^x₀y₂(τ)e^-∫x_τ(γ+λ+μ(ξ))dξdτdx+

λ∫^∞₀∫^u₀z(τ)e^-∫u_τ(γ+λ+ω(ξ))dξdτdu+λκ₁₀.(24)

如果应用Fubini定理并且记

{|α|=|∫^∞₀μ(x)e^-∫x₀(γ+λ+μ(τ))d^τdx|≤M/(τ+λ),

|β|=|∫^∞₀μ(x)e^-∫u0(γ+λ+μ(τ))d^τdu|≤1/(τ+λ),

|Y_i|=|∫^∞₀μ(x)∫^∞₀y_i(τ)e^-∫x_τ(γ+λ+μ(ξ))^dξdτdx|≤

M/(τ+λ)‖y_n‖_L¹[0,∞),i≥1,

|Z|=|∫^∞₀∫^u₀z(τ)e^-∫u_τ(γ+λ+ω(ξ))^dξdτdu|≤

1/(γ+λ)‖z‖_L¹[0,∞),(25)

则式(24)和(22)可改写成如下

(1-λαβ -α 0 0 …

0 1 -α 0 …

0 0 1 -α …

0 0 0 1 …

    )(a₁

a₂

a₃

a₄

)=

(λβY₁+Y₂+λZ+λκ₁₀

Y₃+λκ₂₁

Y₄+λκ₃₂

Y₅+λκ₄₃

)(a₁

a₂

a₃

a₄

)=

(1/(1-λαβ)α/(1-λαβ)(α²)/(1-λαβ)(α³)/(1-λαβ)…

0 1 α α² …

0 0 1 α …

0 0 0 1 …

    )

(λβY₁+Y₂+λZ+λκ₁₀

Y₃+λκ₂₁

Y₄+λκ₃₂

Y₅+λκ₄₃

)

a₁ =(λβ)/(1-λαβ)Y₁+1/(1-λαβ)∑^∞_j=2α^j-2Y_j+

λ/(1-λαβ)∑^∞_j=1a^j-1κ_j,j-1+λ/(1-λαβ)Z,

a_i =∑^∞_j=1α^j-1Y_j+i+λ=∑^∞_j=1α^j-1κ_j+i-1,j+i-2,i≥2.



|a₁|≤1/(|1-λαβ|)(|λβ||Y₁|+

∑^∞_j=1α^j-1|Y_j+1|+λ|Z|+

λ∑^∞_j=1α^j-1|κ_j,j-1|),(26)

|a_i|≤∑^∞_j=1α^j-1|Y_j+i|+

λ∑^∞_j=1α^j-1|κ_j+i-1,j+i-2|,i≥2.(27)

再由式(23)得

|b|≤M/(γ+λ)|a₁|+M/(γ+λ)|Y₁|.(28)

这样结合式(19),(20)以及式(25)～(28)得到

‖(p,κ,q)‖= ‖p‖_Y+|κ|+‖q‖_L¹[0,∞)=

∑^∞_n=1‖_L¹[0,∞)+∑^∞_i=1∑^i-1_j=0|κ_ij|+‖q‖_L¹[0,∞)≤

1/(γ+λ)∑^∞_i=1|a_i|+1/(γ+λ)|b|+

1/(γ+λ)∑^∞_i=1‖y_i‖_L¹[0,∞)+

∑^∞_i=1∑^i-1_j=1|κ_ij|+1/(γ+λ)‖z‖_L¹[0,∞)≤

1/((γ+λ)(1-λαβ))((|λβ|+1)|Y₁|+

(1+α)∑^∞_j=1α^j-1|Y_j+1|+λ(1+α)|Z|+

λ(1+α)∑^∞_j=1α^j-1|κ_j,j-1|)+

1/(γ+λ)∑^∞_j=1α^j-1∑^∞_i=2|Y_j+i|+

λ/(γ+λ)∑^∞_j=1α^j-1∑^∞_i=1|κ_j+i,j-1|+

1/(γ+λ)∑^∞_i=1‖y_i‖_L¹[0,∞)+∑^∞_i=1∑^i-1_j=1|κ_ij|+

1/(γ+λ)‖z‖_L¹[0,∞)≤ 1/(γ+λ-M)|Y₁|+

1/(γ+λ-M)∑^∞_j=1|Y_j+1|+λ/(γ+λ-M)|Z|+

λ/(γ+λ-M)∑^∞_j=1α^j-1|κ_j,j-1|+

1/(γ+λ)∑^∞_j=1α^j-1∑^∞_i=2|y_i+1|+

λ/(γ+λ)∑^∞_j=1α^j-1∑^∞_i=1|κ_j+i,j+i-1+

1/(γ+λ)∑^∞_i=1‖y_i‖_L¹[0,∞)+∑^∞_i=1∑^i-1_j=1|κ_ij|+

1/(γ+λ)‖z‖_L¹[0,∞)≤ 1/(γ+λ-M)∑^∞_i=1|Y_i|+

λ/(γ+λ-M)∑^∞_j=1|κ_j,j-1|+λ/(γ+λ-M)|Z|+

1/(γ+λ)∑^∞_i=1‖y_i‖_L¹[0,∞)+∑^∞_i=1∑^i-1_j=0|κ_ij|+

1/(γ+λ)‖z‖_L¹[0,∞)≤ (M/((γ+λ)(γ+λ-M))+

1/(γ+λ))∑^∞_i=1‖y_i‖_L¹[0,∞)+1/(γ+λ-M)∑^∞_i=1∑^i-1_j=0|π_ij|+

1/(γ+λ-M)‖z‖_L¹[0,∞)=

1/(γ+λ-M)(∑^∞_i=1‖y_i‖_L¹[0,∞)+

∑^∞_i=1∑^i-1_j=0|π_ij|+‖z‖_L¹[0,∞))=

1/(γ+λ-M)‖(y,π,z)‖.(29)

式(29)表示(γI-A)^-1 存在并且当 γ+λ>M 时

‖(γI-A)^-1‖<1/(γ+λ-M).(30)

下面证明 D(A)在 X 中稠密.

令

L=

{(p,κ,q)|p(x)=(p₁(x),p₂(x),…,p_N(x),0,…),

p_i(x),q(x)∈L¹[0,∞), i=1,2,…,N

N为有限.},

显然,L在X中稠密的. 如果再令

W={p,κ,q)〖JB<2|〗p(x)=(p₁(x),p₂(x),…,p_m(x),

0,…),

其中:p_i(x),q(x)∈C ^∞₀ [0,∞),且存在 c_i,c₀,使得p_i(x)=0,x∈[0,c_i],q(x)=0,x∈[0,c₀],i=1,2,…,m}.

根据文献[11]直接可以证明W在X中稠密. 因此只需要证明D(A)在W中稠密即可.

取(p,κ,q)∈W,则存在 c_i>0,c₀>0 使得 p_i(x)=0,x∈[0,c_i],q(x)=0,x∈[0,c₀],i=1,2,…,m. 从而有

p_i(x)=0,q(x)=0,x∈[0,2s],

这里

0<2s<min{c₀,c₁,…,c_m}.

令

f^s₁₍₀₎=(∫^∞_2sp₂(t,x)μ(x)dx+λ∫^∞_2sq(t,u)du+λκ₁₀(t)

∫^∞_2sp₃(t,x)μ(x)dx+λκ_2,1(t)



∫^∞_2sp_m+1(t,x)μ(x)dx+λ_κm,m-1(t)

),

∫^s₂(0)=∫^∞_2sp₁(t,x)μ(x)dx,

(f ^s₁(x),κ,f ^s₂(x))=((f ^s_1,1(x)

f ^s_1,2(x)



f ^s_1,m(x)

0

),(κ₁₀

κ₂₀

κ₂₁

),f ^s₂(x)),

其中

f^s_1,i(x)={f^s_1,i(0)(1-x/s)²,x∈[0,s],

-D_i(x-s)²(x-2s)²,x∈[s,2s),

p_i(x),x∈[2s,∞),

i=1,2,…,m,

D_i=(∫^s₀∫^s_1,i(0)(1-x/s²μ(x)dx)/(f^2s_s(x-s)²μ(x)dx),i=1,2,…,m.

f^s₂(x)={f^s₂(0)(1-x/s)²,x∈[0,s],

-D₀(x-s)²(x-2s)²,x∈[s,2s),

q(x),x∈[2s,∞),

D₀=(∫⁰_s∫^s₂(0)(1-x/s)²ω(x)dx)/(∫^2s₂(x-s)²(x-2s)²ω(x)dx).

则易知(f^s₁(x),κ,f^s₂(x))∈D(A). 进而有

‖(p,κ,q)-(f^s₁(x), κ,f^s₂(x))‖=

∑^m_i=1∫^∞₀|p_i(x)-f^s_1,i(x)|dx+

∫^∞₀|q(x)-f^s₂(x)|dx=

∑^m_i=1∫^s₀|f^s_1,i(0)|(1-x/s)²dx+

∫^s₀(0)|(1-x/s)²dx+

∑^m_i=1∫^2s_s|D_i|(x-s)²(x-2s)²dx+

∫^2s_s|D₀|(x-s)²(x-2s)²dx=

(∑^m_i=1|f^s_1,i(0)|+|f^s₂(0)|)s/3+

(∑^m_i=1|D_i|+|D₀|)(s⁵)/(30)→0(s→0).

说明D(A)在 W 中稠密,换言之,D(A)在 X中稠密.

由以上的结果以及 Hille-Yasida 定理^[12] 可知 A 生成一个 C₀-半群. 易知

B:X→X, ‖B‖≤λ+1(31)

是有界线性算子,因此根据 C₀-半群的扰动定理^[13]可推出A+B生成 C₀-半群 T(t). 由式(13),(14),(19),(20)知道.如果(y,π,z)是正向量则(p,κ,q)也是正向量. 因而,(γI-A)^-1 是正算子. 显然,B 也是正算子. 注意到

(γI-A-B)^-1=

[I-(γI-A)^-1B]^-1(γI-A)^-1.(32)

根据式(30)容易可知,当 γ>M+1 时有

‖(γI-A)^-1B‖<1,

即

[I-(γI-A)^-1B]^-1 存在且有界,且

[I-(γI-A)^-1B]^-1=∑^∞_j=0[(γI-A)^-1B]^j.(33)

因此 [I-(γI-A)^-1B]^-1 也是正算子. 进而,由式(32)和(33)知(γI-A-B)^-1 是正算子. 最后根据文献 [14],推出

T(t)x=lim _γ→∞e^-γt∑^∞_k=0(t^κγ^2κ[(γI-A-B)^-1]^κ)/(κ!)x,

因此 T(t) 也是正的. 证毕.

定理2 系统(1)～(9)存在唯一的非负解.

证明 因为(p,κ,q)(0)=((0,0,…),(d₁,d₂,0,…,d_i,0,…,0^{ⁱ,d_i+1,0,…),(0))∈D(A),故由定理1 和文献[14]可得系统(1)～(9)存在惟一的非负解并且可表示为(p,κ,q)(x,t)=T(t)(p,κ,q)(0).

证毕.

本文中主要对带关闭期的随机N-策略的M/G/1 排队系统进行了分析与研究. 主要工作是应用算子理论、 Hille-Yosida定理、Phillips 定理以及 Fattorini 定理证明了 该模型存在唯一的非负解并且满足概率条件. 本文中考虑了该模型时间依赖解方面的问题,据我们所知,至今该模型还没有其他结果. 因此该模型值得进一步研究,例如,该模型时间依赖解的渐进行为等. 这是我们下一个要讨论的话题.