定理1 设是非平凡极大的可容理想,X是Banach空间,非空闭凸集CX.则C是局部紧对任意有界序列{xn}C,{xn}-收敛于C中的元.
证明 充分性.任取r>0及任取{xn}C∩rBX,则{xn}为C中有界序列,由假设知存在x∈C,使得xn〖FY(〗 〖FY)〗x.进而存在{xn}子列{xnk},满足xnk→x.显然x∈C∩rBX,从而C∩rBX为紧集.由引理1知C为局部紧集.
必要性.取有界序列{xn}C,则存在r>0,使得{xn}rBX.由引理1知,C∩rBX(=C1)为紧集.从而C1是完全有界,则存在有限的1/2-网{z1,1,z1,2,…,z1,m1}C1,使得C1∪m1k=1B(z1,k,1/2),则
N=∪m1k=1{n∈N:xn∈C1∩B(z1,k,1/2)}.
因是非平凡的,故存在某k∈N使得
N1={n∈N:xn∈C1∩B(z1,k,1/2)}.
记A1=C1∩B(z1,k,1/2).A1是紧集且直径不超过1.
同理由A1的完全有界性,存在有限1/4-网{z2,1,z2,2,…,z2,m2}A1,使得A1∪m2k=1B(z2,k,1/4),则
A1=∪m2k=1(A1∩B(z2,k,1/4)).
因N1,故存在某k∈N使得
N2={n∈N:xn∈A1∩B(z2,k,1/4)}.
记A2=A1∩B(z2,k,1/4).A2是紧集且直径不超过1/2.
归纳地,可得一列递减的紧集序列{Ak},满足diam(Ak)≤21-k,同时得到N的子集序列{Nk},有
Nk, k∈N.
由Banach空间的完备性知: ∩∞k=1Ak={x}.则
-limxn=x∈C1.
实际上,对任意的ε>0,取充分大的k,使得AkBo(x,ε),即
Nk{n∈N:‖xn-x‖<ε}.
由Nk,可得{n∈N:‖xn-x‖<ε}.由理想的极大性知
{n∈N:‖xn-x‖≥ε}∈.
即xn〖FY(〗 〖FY)〗x.
推论1 设是非平凡极大的可容理想,则Banach空间的非空子集C是紧集对任意序列{xn}C,{xn}-收敛于C中的元.
证明 证明方法类似定理1.
推论2 设是非平凡极大的可容理想,则Banach空间的非空子集C是相对紧对任意序列{xn}C,有{xn}-收敛.
证明 必要性.设{xn}C(-overC).由条件知,(-overC)是紧集.进而由推论1知{xn}-收敛.
充分性.为证(-overC)是紧集,由推论1知需证对(-overC)中的任意序列{yn},{yn}-收敛于(-overC)中的元.因(-overC)中序列的-极限仍属于(-overC),故只证{yn}-收敛.取{xn}C,使得对任意n∈N,满足‖yn-xn‖<1/n.由假设知{xn} -收敛,设-limxn=x,则也有-limyn=x.
事实上,对任意ε>0,可取足够大的n0,当n>n0,有1/n<ε.则若n满足n>n0且‖xn-x‖<ε时,有
‖yn-x‖≤‖yn-xn‖+‖xn-x‖≤
1/n+ε<2ε.
因此
{n∈N:‖xn-x‖<ε}{1,2,…,n0}∪{n∈
N:‖yn-x‖<2ε}.
因xn〖FY(〗 〖FY)〗x,则
{n∈N:‖xn-x‖<ε}∈(),
故可得
{1,2,…,n0}∪{n∈N:‖yn-x‖<2ε}∈
(),()={M:N\M∈}.
由于是可容理想,有{1,2,…,n0}∈,则{n∈N:n>n0}∈().所以
{n∈N:n>n0}∩({1,2,…,n0}∪{n∈N:
‖yn-x‖<2ε})={n>n0:‖yn-x‖<2ε}∈
().
进一步
{n∈N:‖yn-x‖<2ε}∈(),
即
{n∈N:‖yn-x‖≥2ε}∈.
从而
yn〖FY(〗 〖FY)〗x.
定理2 设是非平凡极大的可容理想,X是Banach空间,CX是非空闭凸集,则C是局部弱紧C中任意有界序列{xn}都w --收敛于C中的元.
证明 充分性.任取r>0,记C1=C∩rBX,则C1是有界闭凸集.因此每个x*∈X*,supz∈C1〈x*,z〉<∞,且存在{xn}C1,使得
〈x*,xn〉→supz∈C1〈x*,z〉,(n→∞).
由假设知,{xn}w --收敛于x∈C1.因此
〈x*,xn〉〖FY(〗 〖FY)〗〈x*,x〉.
则存在{xn}的子列{xnk},使得
〈x*,xnk〉→〈x*,x〉,
即
〈x*,x〉=supz∈C1〈x*,z〉.
由James定理可得C1为弱紧集,故C是局部弱紧.
必要性.设任意有界序列{xn}C,则存在r>0,使得{xn}C∩rBX.结合引理1知C1≡C∩rBX是弱紧集.对任意的x*∈X*,{〈x*,xn〉}有界.则由推论1知-lim〈x*,xn〉存在.令
T(x*)=-lim〈x*,xn〉, x*∈X*.
下证T∈X**.设x*,y*∈X*及数a,b∈R,则
T(a x*+by*)=-lim〈ax*+by*,xn〉=
-lim(a〈x*,xn〉+b〈y*,xn〉)=
a(-lim〈x*,xn〉)+b(-lim〈y*,xn〉)=
aT(x*)+bT(y*),
所以T是X*上的线性泛函.此外,记
K=supx∈C1‖x‖<∞,
则对任意的n∈N,任意的x*∈X*,
|〈x*,xn〉|≤K‖x*‖.
因此
T(x*)≤K‖x*‖,
从而
T∈X**.
下证T∈C1X.只需证T∈(-overC)w*1,其中(-overC)1w*表示X**中C1的w*闭包,则由C1的弱紧性知(-overC)w*1=C1.任取{x*k}mk=1X*及ε>0,因
T(x*k)=-lim〈x*k,xn〉,
有
Ak,ε≡{n∈N:〖JB<2|〗〈x*k,T-xn〉〖JB>2|〗<ε}∈(),
k=1,2,…,m.
则
∩mk=1Ak,ε∈(),
由的非平凡可容性知∩mk=1Ak,ε有无穷多项.因此任意的n∈∩mk=1Ak,ε,有
|〈x*k,T-xn〉|<ε, k=1,2,…,m.
即
T∈(-overC)w*1=C1.
由T的定义,可得
w --lim xn=T,
定理得证.
推论3 设理想是非平凡极大的可容理想,则Banach空间X的非空有界弱闭子集C是弱紧C中的任意序列{xn}都w --收敛于C中的元.
推论4 设理想是非平凡极大的可容理想,则Banach空间X是自反空间X中每个有界序列都w --收敛.
