设(S,+,·)是一个(2,2)-型代数.若(S,+,·)满足:

(i)(S,+)和(S,·)都是半群,

(ii)(S,+,·)满足等式x(y+z)≈xy+xz和(x+y)z≈xz+yz,

则称(S,+,·)是半环.进一步,如果(S,+)是一个半格,则称(S,+,·)为ai-半环.在ai-半环(S,+,·)上,可以自然地引入偏序关系≤:

a≤ba+b=b.

一个典型的ai-半环是半格的自同态半环.事实上,每一个ai-半环都可以嵌入到某一个半格的自同态半环中.众所周知,所有的ai-半环形成一个簇.近年来,关于ai-半环特别是ai-半环簇的研究已经成为半环理论的一个研究热点,取得了一系列重要的研究成果^[1-8].特别地,一些学者对某些ai-半环簇的自由对象进行了刻画,给出了由某些特定等式所确定的ai-半环簇的自由对象的模型^[6-7,9].特别地,在文献[7]中,该文作者引入了如下的ai-半环簇的自由对象.

令S是一个半群.用P(S)和P_f(S)分别来表示S的所有子集的集合和所有非空子集的集合.在P(S)上定义运算:A+B=A∪B,AB={ab|a∈A,b∈B},则P(S)和P_f(S)在上述运算下形成ai-半环.事实上,若X⁺表示非空集合X上的一个自由半群,则P_f(X⁺)是ai-半环簇中相对于映射k:X→P_f(X⁺),x→{x}的自由对象.

设Sg(m,2,1)表示由附加恒等式(x₁x₂…x_m)²≈x₁x₂…x_m定义的半群簇,Sr(m,2,1)表示由附加恒等式(x₁x₂…x_m)²≈x₁x₂…x_m定义的ai-半环簇.近年来,一些学者对Sg(m,2,1)和Sr(m,2,1)进行了研究.例如,2002年,Ren等^[6]利用半群的闭子半群给出了Sr(1,2,1)中自由对象的模型.2005年,Pastijn等^[2,5]证明了Sr(1,2,1)的所有子簇形成一个78阶的分配格,并且证明了这个簇的每一个子簇都是有限基底和有限生成的.

本文中引入半群的(m,2,1)-闭子半群的概念,并利用Sg(m,2,1)的自由对象来构造Sr(m,2,1)的自由对象.其结果将推广和丰富文献[6-7]中的结果.以下,用[n]表示集合{1,2,…,n}.其他概念和术语,读者可

参考文献[10-12].

令S是一个半群,MS,称M为S的(m,2,1)-闭子集,如果

pa_i11a_i22…a_immq∈M(p,q∈S¹,a_i11,…,a_imm∈S,i₁,…,i_m=1,2)pb₁₁b₁₂…b_1mb₂₁b₂₂…b_2mq∈M(b_{s }∈{a_i|∈[m]},s=1,2,∈[m]).

特别地,当m=1时,M即为文献[6]中引入的闭子集:称M是S的闭子集,如果对任意的p,q∈S¹,a₁,a₂∈S,pa₁q,pa₂q∈M  pa₁a₂q∈M.显然,M是闭子集当且仅当M是(1,2,1)-闭子集.设A是半群S的一个子集.容易验证,S的所有包含A的(m,2,1)-闭子集(至少,S是一个包含A的闭子集)的交集仍然是S的一个(m,2,1)-闭子集并且是包含A的S的最小的(m,2,1)-闭子集.本文中称其为由A生成的S的(m,2,1)-闭子集,记作[A].如果A是一个有限子集,则称[A]是有限生成的.

引理1 令S是一个半群且A是其子集.定义A^(k)(k≥0)如下:

1)A⁽⁰⁾=A;

2)A^(k+1)={pb₁₁b₁₂…b_1mb₂₁b₂₂…b_2mq|p,q∈S¹,a_i1,a_i2,…,a_im∈S,i₁,…,i_m=1,2,pa_i1a_i2…a_imq∈A^(k),b_{s }∈{a_i|∈[m]},s=1,2,∈[m]}∪A^(k).

则对任意的A,B∈P(S),有

(i)A⁽⁰⁾A⁽¹⁾…A^(k)A^(k+1)…;

(ii)AB(k≥0)A^(k)B^(k);

(iii)[A]=∪^∞_k=0A^(k).

证明(i)是显然的.

(ii)令AB.当k=0时,显然有A⁽⁰⁾B⁽⁰⁾.假设k≥0且A^(k)B^(k),证明A^(k+1)B^(k+1).令x∈A^(k+1),需要考虑下列两种情况:

1)x∈A^(k).因为A^(k)B^(k),有x∈B^(k).由B^(k)B^(k+1)可以推出x∈B^(k+1).

2)x=pb₁₁b₁₂…b_1mb₂₁b₂₂…b_2mq,p,q∈S¹,a_i1,a_i2,…,a_im∈S,pa_i1a_i2…a_imq∈A^(k),i₁,…,i_m=1,2,b_{s }∈{a_i|∈[m]},s=1,2,∈[m].因为A^(k)B^(k),有{pa_i1a_i2…a_imq|a_i1,a_i2,…,a_im∈S,i₁,…,i_m=1,2}B^(k),因此x=pb₁₁b₁₂…b_1mb₂₁b₂₂…b_2mq∈B^(k+1).

从而证明了A^(k+1)B^(k+1).由归纳法可知,对任意的k,都有A^(k)B^(k).

(iii)首先由A=A⁽⁰⁾可知A∪^∞_k=0A^(k).下面证明∪^∞_k=0A^(k)是一个(m,2,1)-闭子集.令p,q∈S¹,a_i1,a_i2,…,a_im∈S,i₁,…,i_m=1,2.如果pa_i1a_i2…a_imq∈∪^∞_k=0A^(k),由(i)知,存在k₀使得{pa_i1a_i2…a_imq|a_i1,a_i2,…,a_im∈S,i₁,…,i_m=1,2}A^(k₀).因此pb₁₁b₁₂…b_1mb₂₁b₂₂…b_2mq∈A^(k₀+1)∪^∞_k=0A^(k),从而得到∪^∞_k=0A^(k)是一个(m,2,1)-闭子集.现设M是S的一个(m,2,1)-闭子集且AM,证明∪^∞_k=0A^(k)M.事实上,只要证明对任意的k都有A^(k)M即可.当k=0时,结论显然成立.假设k≥0且A^(k)M.令x∈A^(k+1),只需要考虑下列情况:

1)x∈A^(k).因为A^(k)M,有x∈M.

2)x=pb₁₁b₁₂…b_1mb₂₁b₂₂…b_2mq,p,q∈S¹,a_i1,a_i2,…,a_im∈S,pa_i1a_i2…a_imq∈A^(k),i₁,…,i_m=1,2,b_{s }∈{a_i|∈[m]},s=1,2,∈[m].由A^(k)M,得到{pa_i1a_i2…a_imq|a_i1,a_i2,…,a_im∈S,i₁,…,i_m=1,2}M.因为M是(m,2,1)-闭子集,从而可推出x=pb₁₁b₁₂…b_1mb₂₁b₂₂…b_2mq∈M.

引理2 令S∈Sg(m,2,1),则对任意的k和A,B,C∈P(S),

AB^(k)AC(BC)^(k), CA(CB)^(k).

证明 由对偶原理,只需要证明对任意的k和A,B,C∈P(S),

AB^(k)AC(BC)^(k).

当k=0时,如果AB⁽⁰⁾,则AB.进一步,有ACBC.从而推出AC(BC)⁽⁰⁾.假设k≥1且AB^(k).令a∈A,c∈C.因为a∈B^(k),只需要考虑下列情况:

1)a∈B^(k-1).由假设知ac∈(BC)^(k-1),又由(BC)^(k-1)(BC)^(k)可得ac∈(BC)^(k).

2)a=pb₁₁b₁₂…b_1mb₂₁b₂₂…b_2mq,p,q∈S¹,a_i1,a_i2,…,a_im∈S,pa_i1a_i2…a_imq∈B^(k-1),i₁,…,i_m=1,2,b_{s }∈{a_i|∈[m]},s=1,2,∈[m].显然,{pa_i1a_i2…a_imq|a_i1,a_i2,…,a_im∈S,i₁,…,i_m=1,2}B^(k-1).由假设有{pa_i1a_i2…a_imqc|a_i1,a_i2,…,a_im∈S,i₁,…,i_m=1,2}B^(k-1),从而可以得到ac=pb₁₁b₁₂…b_1mb₂₁b₂₂…b_2mqc∈(BC)^(k),因此有ac∈(BC)^(k).从而有AC(BC)^(k).

由归纳法可知结论成立.

令S是一个半群.在P_f(S)定义二元关系ρ如下:

(A,B)∈ρ[A]=[B].显然,ρ是P_f(S)上的一个等价关系.事实上,有

定理1 令S∈Sg(m,2,1),则ρ是P_f(S)上的一个半环同余且P_f(S)/ρ∈Sr(m,2,1).

证明 令A,B,C∈P_f(S)且(A,B)∈ρ.要证明ρ是一个半环同余,只需证明(A∪C,B∪C)∈ρ,(AC,BC)∈ρ和(CA,CB)∈ρ.

由(A,B)∈ρ,可知[A]=[B].因为A[A],[B]=∪^∞_k=0B^(k),有A∪^∞_k=0B^(k).因为A是有限的,由引理1(i)可知,存在k₀使得AB^(k₀).进一步,A∪CB^(k₀)∪CB^(k₀)∪C ^(k₀)(B∪C)^(k₀)[B∪C].从而[A∪C][B∪C].对偶地可证,[B∪C][A∪C].因此[A∪C]=[B∪C],即(A∪C,B∪C)∈ρ.类似地可证(AC,BC)∈ρ和(CA,CB)∈ρ.

要证P_f(S)/ρ∈Sr(m,2,1),只需证A₁,…,A_m∈P_f(S),((A₁…A_m)²,A₁…A_m)∈ρ,即,[(A₁…A_m)²]=[A₁…A_m].令b_i∈A_i,这里i∈[m],则b₁…b_m=(b₁…b_m)²∈(A₁…A_m)².因此A₁…A_m(A₁…A_m)²,进一步有[A₁…A_m][(A₁…A_m)²].如果x∈(A₁…A_m)²,则存在a_i1a_i2…a_im∈A₁…A_m,a_i1,a_i2,…,a_im∈S,i₁,…,i_m=1,2,b_{s }∈{a_i|∈[m]},s=1,2,∈[m]使得x=pb₁₁b₁₂…b_1mb₂₁b₂₂…b_2mq.因为pb₁₁b₁₂…b_1mb₂₁b₂₂…b_2mq∈(A₁…A_m)⁽¹⁾[A₁…A_m],所以x=pb₁₁b₁₂…b_1mb₂₁b₂₂…b_2mq∈[A₁…A_m].因此(A₁…A_m)²[A₁…A_m]并且[(A₁…A_m)²][A₁…A_m].因此得到[(A₁…A_m)²]=[A₁…A_m].

引理3 设(S,·)∈Sg(m,2,1),(T,+,·)∈Sr(m,2,1),令φ是由半群S到半环T的乘法导出半群上的一个半群同态,则对任意的自然数k及A,B∈P_f(S),有

AB^(k)∑_a∈Aφ(a)≤∑_b∈Bφ(b).

证明 下面将通过对k的归纳来证明这一结果.当k=0时,如果AB⁽⁰⁾,则AB.显然有∑_a∈Aφ(a)≤∑_b∈Bφ(b).假设k≥1且AB^(k).对任意的a∈A,只需要证明φ(a)≤∑_b∈Bφ(b).因为a∈B^(k),需要考虑下面两种情况:

1)a∈B^(k-1).由归纳假设,立刻可以得到φ(a)≤∑_b∈Bφ(b).

2)a=pb₁₁b₁₂…b_1mb₂₁b₂₂…b_2mq,p,q∈S¹,a_i11,a_i22,…,a_imm∈S,pa_i11a_i22…a_immq∈B^(k-1),i₁,i₂,…,i_m=1,2,b_{s }∈{a_i|∈[m]},s=1,2,∈[m].由归纳假设可得φ(pa_i11a_i22…a_immq)≤∑_b∈Bφ(b).进一步,

∑_b∈Bφ(b)≥∑_{i1,i2,…,im=1,2}φ(pa_i11a_i22…a_immq)=

∑_{i1,i2,…,im=1,2}φ(p)φ(a_i11a_i22…a_imm)φ(q)=

φ(p)(∑_{i1,i2,…,im=1,2}φ(a_i11a_i22…a_imm))φ(q)=

φ(p)(φ(a₁₁)+φ(a₂₁))(φ(a₁₂)+

φ(a₂₂))…(φ(a_1m)+φ(a_2m))φ(q)=

φ(p)((φ(a₁₁)+φ(a₂₁))(φ(a₁₂)+

φ(a₂₂))…(φ(a_1m)+φ(a_2m)))φ(q)≥

φ(pb₁₁b₁₂…b_1mb₂₁b₂₂…b_2mq)=φ(a).

上面是对于p,q∈S的情况的证明.pS或qS的情况可类似证明.

下面利用Sg(m,2,1)的自由对象来构造Sr(m,2,1)的自由对象.这一结果推广了文献[7]中的定理3.5.

定理2 令X是一个非空子集,F_X是X上Sg(m,2,1)相应于映射ι:X→F_X的自由对象,则P_f(F_X)/ρ是X上Sr(m,2,1)相应于映射κ:X→P_f(F_X)/ρ,x→{ι(x)}ρ的自由对象.

证明 由定理1可知P_f(F_X)/ρ∈Sr(m,2,1).假设S∈Sr(m,2,1)且λ:X→S是任意一个映射.因为(S,·)∈Sg(m,2,1)且F_X是Sg(m,2,1)的自由对象,则存在唯一的一个φ:F_X→(S,·)使得

是一个交换图,即φι=λ.定义映射ψ:P_f(F_X)/ρ→S如下:

ψ(Aρ)=∑_a∈Aφ(a)(A∈P_f(F_X)),

对任意的A,B∈P_f(F_X),如果Aρ=Bρ,则[A]=[B]=∪^∞_k=0B^(k).进一步,存在k₀使得AB^(k₀).由引理3可得∑_a∈Aφ(a)≤∑_b∈Bφ(b).类似地可以证明∑_b∈Bφ(b)≤∑_a∈Aφ(a).从而∑_a∈Aφ(a)=∑_b∈Bφ(b).因此φ的定义是合理的.下证ψ是使得下图可交换的半环同态.

首先,对任意的A,B∈P_f(F_X),

ψ((Aρ)+(Bρ))=

ψ((A∪B)ρ)=∑_c∈A∪Bφ(c)=

(∑_a∈Aφ(a))+(∑_b∈Bφ(b))=

ψ(Aρ)+ψ(Bρ),

ψ((Aρ)(Bρ))=ψ((AB)ρ)=

∑_a∈A,b∈Bφ(ab)=∑_a∈A,b∈Bφ(a)φ(b)=(∑_a∈Aφ(a))

(∑_b∈Bφ(b))=ψ(Aρ)ψ(Bρ),

因此ψ是P_f(F_X)到S上的半环同态.

其次,对任意的x∈X,(ψκ)(x)=ψ(k(x))=ψ({ι(x)}ρ)=φ(ι(x))=(φι)(x)=λ(x),因而ψκ=λ.

最后,令θ:P_f(F_X)/ρ→S是一个半环同态且使得θκ=λ,定义映射α:F_X→(S,·)如下:

α(a)=θ({a}ρ)(a∈F_X).

易验证α是一个半群同态.且对任意的x∈X,(αι)(x)=α(ι(x))=θ({ι(x)}ρ)=θ(k(x))=(θκ)(x)=λ(x),因此αι=λ.由φ的唯一性,可以知α=φ.再令A∈P_f(F_X),则θ(Aρ)=θ(∑_a∈A{a}ρ)=∑_a∈Aθ({a}ρ)=∑_a∈Aα(a)=∑_a∈Aφ(a)=ψ(Aρ),从而有θ=ψ.

一个半群S的所有有限生成的非空(m,2,1)-闭子集的集合表示为P^-_f(S).在P^-_f(S)中定义运算+和:

[A]+[B]=[A∪B],

[A][B]=[AB](A,B∈P_f(S)).

容易验证(P^-_f(S),+,)是一个ai-半环.下面将证明P^-_f(F_X)是Sr(m,2,1)自由对象的模型,其结果推广了文献[9]中的定理3.4.

定理3 令X是一个非空子集且F_X是Sg(m,2,1)对应于映射ι:X→F_X的自由对象,则F_X是Sr(m,2,1)对应于映射η:X→P^-_f(F_X),x→[{ι(x)}]的自由对象.

证明 由定理2,只需要证明映射φ:P^-_f(F_X)→P_f(F_X)/ρ:φ([A])=Aρ(A∈P_f(F_X))是P^-_f(F_X)到P_f(F_X)/ρ的一个同构.因为对任意的A,B∈P_f(F_X),φ([A])=φ([B])Aρ=Bρ (A,B)∈ρ[A]=[B],所以φ是一个单射.另外,φ显然是一个满射,且对任意的A,B∈P_f(F_X),φ([A]+[B])=φ([A∪B])=(A∪B)ρ=Aρ+Bρ=φ([A])+φ([B]),φ([A][B])=φ([AB])=(AB)ρ=(Aρ)(Bρ)=φ([A])φ([B]),因此φ是由P^-_f(F_X)到P_f(F_X)/ρ上的一个同构.