为了以统一方式研究模范畴和层范畴的同调理论,Grothendieck[1]于1957 年引入Grothendieck范畴.之后,Gabriel[2]进一步发展了该类范畴的相关理论.一个余完备的阿贝尔范畴称为一个Grothendieck范畴,如果 C 满足以下两条性质:
1)任意短正合列的正向极限仍是短正合列.
2)C 具有一个生成子W,即函子 HomC(W,-)是忠实的.由于 C 具有直和,该条件等价于:对 C 中的任意对象X,存在一个满态射W(I) → X,其中 W(I) 是对象 W 关于指标集 I 的直和.
(分次)模范畴、预层范畴、拟凝聚层范畴、函子范畴等诸多大家关注的范畴皆是Grothendieck范畴.
斜群范畴是斜群代数模范畴的推广.由Reiten等[3]在研究斜群代数的表示理论时首先引入.粗略地说,斜群范畴是由一个有限群G作用在一个预加范畴 C 上构造出来的新范畴.它的对象是范畴 C 中对象X的在群作用下的轨道的直和项.Reiten等[3]指出:研究范畴C 和斜群范畴 C(G)之间的联系不仅本身具有研究意义,而且从范畴的角度来看,应用斜群范畴这一工具,可使处理模范畴时,思路和脉络更为清晰直观.
本文中遵照文献[3]对斜群范畴的定义.设 C 是一个加法范畴,G是有限群.群G对范畴 C 的一个作用是指一个从G到 C 的自同构群Aut(C)的群同态.记元素g∈G 对对象 X 的作用为 gX,g对态射 β:X → Y 的作用为 gβ.若加法范畴 C 配备了一个有限群 G-作用,则称 C 为 G-加法范畴.若阿贝尔范畴 C 配备了一个有限群 G-作用,则称 C 为 G-阿贝尔范畴.
定义1 设 C 是G-加法范畴,按如下方式定义范畴 C 的轨道范畴 C[G].C[G] 的对象为 C 中的对象.对任意对象 X,Y∈C[G],定义态射集
HomC [G](X,Y)=g∈G HomC(gX,Y).
态射的合成为自然的合成.
Reiten等在文献[3]中指出:若有限群G作用在一个幂等完备范畴 C 上,轨道范畴 C[G]未必是幂等完备的.为此,文献[3]引入如下定义.
定义2 设G是一个有限群,C 是一个G-预加范畴.定义 C 的斜群范畴为轨道范畴 C[G] 的幂等完备化C[G],简记为 C(G).
群的阶数的可逆性是研究斜群范畴的一个重要的常规性条件[3].记群G的阶数|G|=n,称 n在范畴 C 中可逆,如果对任意 C 中的态射β:X → Y,总存在唯一的态射 α:X → Y,使得 β=n α.记该唯一的态射为 1/n β.
注1 若去掉群的阶数的可逆性条件,则斜群范畴的性质都可能发生改变[4].
从现在开始,设定G是一个有限群,C 是一个 G-阿贝尔范畴.记有限群 G={e=g1,g2,…,gn}.则范畴 C 和 C(G)之间存在两个重要的函子F:C → C(G)和H:C(G)→ C.
先在范畴 C 和轨道范畴 C[G] 上定义.对任意对象X∈C,定义 F(X)=X.对任意 C 中的态射β:X → Y,定义 F(β):X → Y为 C[G] 中的态射
(-over)=g∈Gg:g∈GgX → Y,
其中 e=β,对非幺元的元素 g∈G,定义 g=0.
对任意 C[G] 中的对象 M,加法函子H:C[G] → C 将M对应为 C中的对象 g∈GgM.对任意 C[G] 中的态射(-overβ)=g∈G βg:g∈G gM → N,定义 H((-overβ))为如下的态射矩阵:
H((-overβ))=(gigj):g1M … gnM →
g1N … gnN,
其中,态射H((-overβ))中的第一行满足 g1gj=βgj:gjM → N,态射 H((-overβ))的(i; j)元是态射
gigj=gig1(g-1igj):gjM → giN.
进一步地,(F,H,η,(-overε))和(H,F,(-overη),ε)是范畴 C 和轨道范畴 C[G] 之间的伴随对.对于伴随对(F,H,η,(-overε)),单位 η:1C → HF 在对象 X∈C 处的取值 ηX 为
ηX=(1X,0,…,0)T:X → HF(X)=
g1X … gnX,
其中T表示转置.余单位(-overε):FH → 1C[G]在对象 N∈C[G] 处的取值εN^-:FH(N)→ N 为
εN^-=ni=1(εN)gi:ni=1 gi(g1N … gnN)→ N,
其中第 i 个分支态射的第 g-1i 个位置为对象 N 的恒等态射:
(εN)gi=(0,…,0,1N,0,…,0):gi(g1N … gnN)→ N.
对于伴随对(H,F,(-overη),ε),单位(-overη):1C[G]→ FH 在对象 M∈C[G] 处的取值ηM^-:M → FH(M)为
ηM^-=ni=1(ηM)gi:ni=1 giM → FH(M),
其中第 i 个分支态射为第 i 个嵌入态射:
(ηM)gi=(0,…,0,1Mgi,0,…,0)t:giM →
FH(M)=g1M … gnM.
余单位ε:HF → 1C 在对象 Y∈C 处的取值 εY 为
εY=(1Y,0,…,0):g1Y … gnY=
HF(Y)→ Y.
由于斜群范畴是轨道范畴的幂等完备化,故可将伴随对(F,H,η,(-overε))和(H,F,(-overη),ε)提升至斜群范畴 C(G),得到伴随对
(F,H,η,(-overε)):C → C(G),
(H,F,(-overη),ε):C(G)→ C.
这里,仍采用原来 C 和轨道范畴 C[G] 范畴间函子和自然变换的记号.在不致混淆的情况下,将上述伴随对简记为(F,H)和(H,F).文献[3]给出如下结果.
命题1 设G是一个有限群,C 是一个 G-阿贝尔范畴,且群G的阶数|G|=n 可逆.则
1)对于伴随对(F,H,η,(-overε)),单位 η:1C → HF 是可裂单的自然变换,余单位(-overε):FH → 1C(G) 是可裂满的自然变换.实际上,有 ε·η=1,(-overε)·(1/n(-overη))=1.
2)对于伴随对(H,F,(-overη),ε),单位(-overη):1C(G) → F H 是可裂单的自然变换,余单位 ε:H F → 1C 是可裂满的自然变换.
3)设 X∈C,则 HF(X)=g∈G gX.设 β:X → Y 是 C 中的态射,则 HF(β):g∈G gX → h∈G hY 是主对角线为 gβ:gX → gY,其余位置为零态射的 n 阶态射矩阵.
