本文中使用亚纯函数的 Nevanlinna 理论的标准记号,具体细节参看文献 [1-3].对复平面C上的亚纯函数 f(z),用 ρ(f),μ(f),ρ₂(f)分别表示亚纯函数 f(z)的级、下级、超级.为了行文的需要,还需要回顾如下定义.

定义1 集合E[0,+∞),则 E 的 Lebesgue 线性测度为m(E)=∫_Edt,集合 F[1,+∞),则 F 的对数测度为 m_l(F)=∫_F(dt)/t.集合 E[0,+∞)的上密度和下密度定义如下:

dens^-(E)=lim sup_r→∞(m(E∩[0,r]))/r,

dens_-(E)=lim inf_r→∞(m(E∩[0,r]))/r.

集合 F[1,+∞)的上对数密度和下对数密度定义如下:

logdens^-(F)=lim sup_r→∞(m_l(F∩[1,r]))/(log r),

logdens_-(F)=lim inf_r→∞(m_l(F∩[1,r]))/(log r).

定义2 设 f(z)为有穷正级整函数,S(α,β)={z:α<arg z<β},其中 α,β 为满足 0<β-α<2π 的实数.如果对任意 θ∈(α,β)有

lim_r→∞(log(log|f(re^iθ)|))/(log r)=ρ(f),

则称 f(z)在角域 S(α,β)内以指数形式趋于无穷.如果对任意 θ∈(α,β)有

lim_r→∞(log(log|f(re^iθ)|^-1))/(log r)=ρ(f),

则称 f(z)在角域 S(α,β)内以指数形式趋于零.

另外,还需要下面的定义.

定义3 设 f(z)=∑^∞_n=0a_nz^λ_n是整函数,当 n→∞时,(λ_n)/n→∞,则称 f(z)是Fabry 缺项级数.

本文中主要研究线性微分方程

f^(k)+A_k-1(z)f^(k-1)+…+A₁(z)f'+

A₀(z)f=0(1)

解的增长性问题,其中 A_j(z)是整函数,j=0,1,…,k-1.从回顾两个典型的结果开始.

定理1^[4] 设 A_j(z)是整函数,j=0,1,…,k-1,若 max{ρ(A_j):j≠0}<ρ(A₀),则方程(1)的任意非平凡解是无穷级.

定理2^[5] 设 A_j(z)是整函数,j=0,1,…,k-1,若存在一个 s∈{0,1,2,…,k-1},使得max{ρ(A_j):j≠s}<ρ(A_s)≤1/2,则方程(1)的任意非平凡解是无穷级.

对于定理1和定理2,方程(1)解的增长性遗留的主要问题是:若主导系数为A_s(z)且 ρ(A_s)>1/2,s∈{1,2,…,k-1},定理2的结论在通常情况下不成立,例如对二阶的情形,方程 f″+e^-zf^'+(-n²)f=0 的任意非平凡解为有穷级.因此,一个自然的问题是方程(1)的主导系数 A_s 满足 ρ(A_s)>1/2时,其他系数需要附加什么条件才能使方程(1)的任意非平凡解是无穷级呢? 国内外很多学者关注了这个问题,并且获得了很多结果^[6-10].Chen等^[6]估计了方程(1)无穷级解的超级.

定理3^[6] 设 A_j(z)是整函数,j=0,1,…,k-1,若 max{ρ(A_j):j≠0}<ρ(A₀)<+∞,则方程(1)的任意非平凡解 f 满足 ρ₂(f)=ρ(A₀).

定理4^[6] 设 A_j(z)是整函数,j=0,1,…,k-1,若存在 s∈{0,1,…,k-1},使得 max{ρ(A_j):j≠s}<ρ(A_s)<1/2,则方程(1)的任意非平凡解 f 满足 ρ₂(f)=ρ(A_s).

最近Long^[11]研究了方程

f″+A(z)f^'+B(z)f=0(2)

解的增长性,其中 A(z)和 B(z) 是整函数,得到下面的结果.

定理5^[11] 设 A(z) 是方程

f″+P(z)f=0(3)

的非平凡解,其中 P(z)=a_nzⁿ+a_n-1z^n-1+…+a₀,a_n≠0,n 是非负整数,B(z)是 Fabry 缺项级数,使得 ρ(B)≠ρ(A),则方程(2)的任意非平凡解是无穷级.

本文研究了方程(1)解的增长性,获得了更为广泛的结果.

定理6 设A_j(z)是整函数,j=0,1,…,k-1,若存在 s∈{1,2,…,k-1},使得 A_s(z)是方程(3)的非平凡解,A₀(z)是Fabry缺项级数且 ρ(A₀)≠ρ(A_s),max{ρ(A_j):j≠0,s}<ρ(A₀),其中 P(z)=a_nzⁿ+a_n-1z^n-1+…+a₀,a_n≠0,则方程(1)的任意超越解是无穷级.

注1 定理 6的结论要求解为超越的,我们不知道超越解的条件是否可以去掉,其原因主要是在证明过程中使用了引理 4.

为了叙述下面的结果,需要使用杨-极值不等式函数及相关的定义.在亚纯函数的 Nevanlinna 理论中,亏值和 Borel 方向是非常重要的概念,Yang^[3]获得了两者之间的关系,被称为杨-张不等式,Yang^[12]利用定义 4 推广了杨-张不等式.

定义4^[12] 设 f 是 C 上满足 0<μ(f)<∞的亚纯函数,若对任意的 ε>0 和任意的复数 a∈C∪{∞},有

lim sup_r→∞ log n(S(θ-ε,θ+ε,r),a,f)/logr≥

μ(f),

至多除去两个例外值,则从原点出发的半直线 arg z=θ∈[0,2π)叫做 f 的级≥μ(f)的 Borel 方向,其中 n(S(θ-ε,θ+ε,r),a,f)是f-a 在角域 S(θ-ε,θ+ε,r)={z:θ-ε<argz<θ+ε,|z|<r} 内的零点个数,重级零点按重数计算.

定理7^[12] 设 f 是 C 上满足 0<μ(f)<∞整函数,q(<∞)是 f 的级≥μ(f)的 Borel 方向条数,p 是 f 的有穷亏值总数,则p≤q/2.

定义5 设 f 是 C 上满足 0<μ(f)<∞的整函数,q(<∞)是 f 的级≥μ(f)的 Borel 方向条数,p 是 f 的有穷亏值总数,若 p=q/2,则 f 称为杨-极值不等式函数.

Wu^[13]研究了杨-极值不等式函数,并获得了这类函数的很多性质,具体参看下面的引理 8.

下面的两个结果都涉及到杨-极值不等式函数.

定理8^[11] 设A(z)是杨-极值不等式函数,B(z) 是 Fabry 缺项级数,则方程(2)的任意非平凡解是无穷级.

定理9^[14] 设 A_j(z)是整函数,j=0,1,…,k-1,若存在 s∈{1,2,…,k-1},使得 A_s(z)是杨-极值不等式函数,A₀(z)满 足 ρ(A₀)≠ρ(A_s),max{ρ(A_j):j≠0,s}<ρ(A₀),则方程(1)的任意非平凡解满足 ρ₂(f)≥ρ(A₀).

下面的结果涉及具有有穷 Borel 例外值的整函数.

定理10^[11] 设 A(z) 是具有有穷的 Borel 例外值的整函数,B(z)是 Fabry 缺项级数,则方程(2)的任意非平凡解是无穷级.

结合前面几个结果,关于方程(1)解的增长性,得到了下面的结果.

定理11 设 A_j(z)是整函数,j=0,1,…,k-1,若存在 s∈{1,2,…,k-1},使得 A_s(z)是杨-极值不等式函数,A₀(z)是Fabry缺项级数,且max{ρ(A_j):j≠0,s}<ρ(A₀),则方程(1)的任意非平凡解满足 ρ₂(f)≥ρ(A₀).

注2 相比定理9的条件,定理11包含了情形 ρ(A₀)=ρ(A_s),因此定理11获得了更为广泛的结果.

定理12 设 A_j(z)是整函数,j=0,1,…,k-1,若存在 s∈{1,2,…,k-1},使得 A_s(z)为有穷的 Borel 例外值,A₀(z)是 Fabry 缺项级数,且max{ρ(A_j):j≠0,s}<ρ(A₀),则方程(1)的任意非平凡解满足 ρ₂(f)≥ρ(A₀).

引理1^[15] 设 f 是级为有穷的超越亚纯函数,对任意给定的常数 ε>0,及满足 k>j≥0 的 两个整数 k,j,下列结论成立.

(i)存在对数测度有穷的集合 E(1,+∞),使得对任意满足 |z|E 的 z 有

|(f^(k)(z))/(f^(j)(z))|≤|z|^{(k-j)(ρ(f)-1+ε)};

(ii)存在线性测度有穷的集合F(1,+∞),使得对所有满足 |z|F 的 z 有

|(f^(k)(z))/(f^(j)(z))|≤|z|^{(k-j)(ρ(f)+ε)}.

若 f 是一般的亚纯函数,则有如下的对数导数估计.

引理2^[15] 设 f(z)是超越亚纯函数,α(>1)是常数,对任意给定的 ε>0,存在对数测度有穷的集合 E₁[1,+∞)和常数 B>0,B 依赖于 α 和整数 m,n,0≤m<n,使得对于任意满足 |z|=r[0,1]∪E₁ 的 z 有:

|(f⁽ⁿ⁾(z))/(f^(m)(z))|≤B((T(αr,f))/rlog^α r·

log T(αr,f))^n-m.

引理3^[16] 设 f(z)为方程(3)的一个非平凡解,其中 P(z)=a_nzⁿ+a_n-1z^n-1+…+a₀,a_n≠0.令

θ_j=(2jπ-arg a_n)/(n+2),S_j={z:θ_j<arg z<θ_j+1},

j=0,1,…,n+1,θ_n+2=θ₀+2π.

则 f(z) 具有下列性质:

(i)在每个角域 S_j 内,f 要么以指数形式趋于无穷,要么以指数形式趋于零;

(ii)若 f 在角域 S_j 内以指数形式趋于零,则 f 在角域 S_j-1 和角域 S_j+1(若 j=n+1 则 S_j+1=S₀)内都以指数形式趋于无穷.然而,f 可以在任意相邻的角域内以指数形式趋于无穷;

(iii)若在角域 S_j 内 f 以指数形式趋于零,那么在角域 S_j-1∪S_j^-∪S_j+1 的任意闭子集中,f 至多具有有穷多个零点;

(iv)若在相邻角域 S_j 和 S_j-1 内 f 都以指数形式趋于无穷,那么对任意给定的 ε>0,在角域 {z:θ_j-ε<argz<θ_j+ε} 内 f 具有无穷多个零点,且当 r→∞时,有

n(Ω(θ_j-ε,θ_j+ε,r),0,f)=

(1+o(1))(2(|a_n|)^1/2)/((n+2)π)r^(n+2)/2,

其中,n(Ω(θ_j-ε,θ_j+ε,r),0,f)表示 f 在角域 Ω(θ_j-ε,θ_j+ε,r)={θ-ε<arg z<θ+ε,|z|<r} 内的零点个数,重级零点按其重数计算.

引理4^[17] 设 A_j(z)和 A₀(z)(0)是整函数,j=1,2,…,k-1,对任意的实常数 α,β,δ,θ₁,θ₂,α>0,β>0,δ>0,θ₁<θ₂ 及正整数 k≥2,kδ<1,方程(1)的系数满足:在(-overS)(θ₁,θ₂)={z:θ₁≤arg z≤θ₂} 中,当 z→∞时,存在 s∈{1,2,…,k-1},有

|A_s(z)|≥exp{(1+δ)α|z|^β},

对所有的 j∈{0,1,…,s-1,s+1,…,k-1},有

|A_j(z)|≤exp{δα|z|^β}.

令 ε>0 是任意小的常数,(-overS)(θ₁+ε,θ₂-ε)={z:θ₁+ε≤arg z≤θ₂-ε}.若 f 是方程(1)的级为 ρ(f)(<∞)的超越解,则下列结论成立:

(i)存在常数 j∈{0,1,…,s-1} 及复常数 b_j(≠0),使得 z∈(-overS)(θ₁+ε,θ₂-ε)且 当 z→∞时,有f^(j)(z)→b_j,更精确地,对 z∈(-overS)(θ₁+ε,θ₂-ε)及充分大的 |z|,

|f^(j)(z)-b_j|≤exp{-(1-kδ)α|z|^β};

(ii)对任意 m≥j+1 的整数,在(-overS)(θ₁+3ε,θ₂-3ε)中,当 z→∞时,有

|f^(m)(z)|≤exp{-(1-kδ)α|z|^β}.

引理5^[11] 设 f(z)=∑^∞_n=0a_nzⁿ是有穷正级的 Fabry 缺项级数,g 为有穷正级的整函数,则对任意给定的 ε∈(0,ζ),其中ζ=min{1,ρ(g)},存在 一个上对数密度大于等于 η 的集合 F(1,+∞),η∈(0,1)是一个常数,使得对所有满足 |z|=r∈F 的 z 有

log L(r,f)>(1-ε)log M(r,f),

log M(r,g)>r^ρ(g)-ε,

其中,L(r,f)=min_|z|=r|f(z)|,M(r,f)=max_|z|=r|f(z)|.

引理 6^[11] 设 f(z)是具有有穷的 Borel 例外值 c 的有穷级整函数,则 f(z)=h(z)e^Q(z)+c,其中h(z)是整函数且 ρ(h)<ρ(f),Q(z)是多项式且 deg(Q)=ρ(f).

引理 7^[18] 令P(z)=b_nzⁿ+b_n-1z^n-1+…+b₀,n 是正整数且 b_n=α_ne^iθ_n,α_n>0,θ_n∈[0,2π),对任意给定的 ε∈(0,(π)/(4n)),引入 2n 个角域,

S_j={z:-θ_nn+(2j-1)(π)/(2n)+ε<arg z<

-(θ_n)/n+(2j+1)(π)/(2n)-ε},j=0,1,…,2n-1,

则存在一个正数 R=R(ε)>1,使得当 z∈S_j,j=0,2,…,2n-2,对所有满足 |z|=r>R 的 z 有

Re{P(z)}>α_n(1-ε)sin(nε)rⁿ.

当 z∈S_j,j=1,3,…,2n-1,对所有满足 |z|=r>R 的 z 有

Re{P(z)}<-α_n(1-ε)sin(nε)rⁿ.

下面回顾杨-极值不等式函数的性质,设 f 是杨-极值不等式函数,arg z=θ_k 是 f 的级≥μ(f)的 q 条 Borel 方向,k=1,2,…,q,0≤θ₁<θ₂<…<θ_q<θ_q+1=θ₁+2π.

引理8^[13] 设 A(z) 是杨-极值不等式函数,则

(i)μ(A)=ρ(A);

(ii)对每个亏值 a_i,i=1,2,…,q/2,存在相应的两条 Borel 方向 θ_ki 和 θ_ki+1,使得对任意的 ε>0,当 z∈S(θ_ki+ε,θ_ki+1-ε,r,∞)={z:θ_ki+ε<arg z<θ_ki+1-ε,r<|z|<∞} 时,有

log1/(|A(z)-a_i|)>

C(θ_ki,θ_ki+1,ε,δ(a_i,A))T(|z|,A),

C(θ_ki,θ_ki+1,ε,δ(a_i,A))是依赖于 θ_ki,θ_ki+1,ε和 δ(a_i,A)的正常数.

引理9^[14] 设A(z)是杨-极值不等式函数,若存在 arg z=θ∈(θ_j,θ_j+1),1≤j≤q,使得

lim sup_r→∞(log(log|A(re^iθ)|))/(log r)=ρ(A),

则 θ_j+1-θ_j=(π)/(ρ(A)).

定理6的证明 根据定理的条件,如果 ρ(A_s)<ρ(A₀),则结论由定理1得证.故假设 ρ(A_s)>ρ(A₀),使用反证法,假设方程(1)存在一个有穷级超越解 f.令

θ_j=(2jπ-arg a_n)/(n+2),S_j={z:θ_j<arg z<θ_j+1},

j=0,1,…,n+1,θ_n+2=θ₀+2π.

应用引理3,分两种情况:

情形1.假设 A_s(z)在每个角域 S_j 都以指数形式趋于无穷,j=0,1,…,n+1.令 b=max{ρ(A_j):j≠0,s}.由假设及文献[2] 知,对任意的 θ∈(θ_j,θ_j+1),有

lim_r→∞(log(log|A_s(re^iθ)|))/(log r)=ρ(A_s)=(n+2)/2,

则对任意给定的实常数 ε,η,δ,α,其中 α>0,ε∈(0,min{(π)/(4ρ(A_s)),(π)/(6n+12)}),η∈(0,(ρ(A_s)-ρ(A₀))/4),δ>0,kδ<1 及充分大的|z|有

|A_s(z)|≥exp{(1+δ)α·|z|^(n+2)/2-η},(4)

|A₀(z)|≤exp{|z|^ρ(A₀)+η}≤

exp{|z|^ρ(A_s)-2η}≤exp{δα·|z|^(n+2)/2-η},(5)

|A_j(z)|≤exp{|z|^b+η}≤exp{|z|^ρ(A_s)-2η}≤

exp{δα·|z|^(n+2)/2-η},j≠0,s.(6)

因此在角域 S_j 中,j=0,1,…,n+1,当 z→∞时,式(4)～(6)成立.应用引理 4,在角域 S_j(ε)={z:θ_j+ε<arg z<θ_j+1-ε} 中,存在 i∈{1,2,…,s-1} 和 b_i≠0,当 z→∞时,有

|f⁽ⁱ⁾(z)-b_i|≤exp{-(1-kδ)α·|z|^(n+2)/2-η}.

在 S_j(3ε)={z:θ_j+3ε<arg z<θ_j+1-3ε} 中,对任意正整数 m≥s+1,当 z→∞时,有

|f^(m)(z)|≤exp{-(1-kδ)α·|z|^(n+2)/2-η}.

利用 Phragmén-lindelöf 定理得 |f^(s)(z)| 在整个复平面有界.由 Liouville's 定理知,f 在整个复平面是一个多项式,这与 f 是方程(1)的超越解矛盾.故结论得证.

情形2.若在n+2 个角域中至少存在一个角域,使得 A_s(z)以指数形式趋于零.不妨设 A_s(z)在 S_j0={z:θ_{j0<arg z<θj0+1} 以指数形式趋于零,0≤j0≤n+1.则对任意的 θ∈(θj0,θj0+1),有}

lim_r→∞(log(log1/(|A_s(re^iθ)|)))/(log r)=(n+2)/2.(7)

应用引理 5,对任意给定的 ε∈(0,(ρ(A₀)-b)/4),则存在上对数密度大于零的集合 E₁(1,+∞),使得对所有满足 |z|=r∈E₁ 的 z 有:

|A₀(z)|>exp{r^ρ(A₀)-ε}.(8)

又因 max{ρ(A_j):j≠0,s}=b<ρ(A₀)知,存在 R₁>0,当 r>R₁ 时,有

|A_j(z)|<exp{r^b+ε},j≠0,s.(9)

应用引理 1,存在对数测度有穷的集合 E₂(1,+∞),使得对所有满足 |z|=r(E₂∪[0,1])的 z 有

|(f^(j)(z))/(f(z))|≤|z|^2kρ(f),j=1,2,…,k-1.(10)

因此,存在序列 z_n=r_ne^iθ,其中 r_n∈E₁∩(R₁,+∞)-(E₂∪[0,1]),θ∈(θ_j0,θ_j0+1),lim_n→∞r_n=∞,使得式(7)～(10)成立.联立式(7)～(10)及式(1),有

exp{r_n^ρ(A₀)-ε}<|A₀(r_ne^iθ)|≤

|(f^(k)(r_ne^iθ))/(f(r_ne^iθ))|+|A_k-1(r_ne^iθ)|

|(f^(k-1)(r_ne^iθ))/(f(r_ne^iθ))|+…+|A₁(r_ne^iθ)|

|(f'(r_ne^iθ))/(f(r_ne^iθ))|≤Cr_n^2kρ(f)exp{r^b+ε_n}

(1+o(1)).

当 n 充分大时,由 ε 的任意性知上式与 b<ρ(A₀)矛盾.故方程(1)的任意超越解是无穷级.

定理11的证明 设 f 是方程(1)的任一非平凡解.因 max{ρ(A_j):j≠0,s}=b<ρ(A₀),存在 R₂>1,当 r>R₂ 时,有式(9)成立.由 A₀(z)是 Fabry 缺项级数,对任意给定的 ε∈(0,(ρ(A₀)-b)/4),存在上对数密度大于零的集合 E₃(1,+∞),使得对所有满足 |z|=r∈E₃ 的 z 有式(8)成立.

应用引理 2,存在对数测度有穷的集合E₄(1,+∞),使得对所有满足 |z|=rE₄∪[0,1] 的 z 有

|(f^(j)(z))/(f(z))|≤BT(2r,f)^2k,j=1,2,…,k-1.

假设 a_i 是 A_s(z)的 p 个有穷亏值,i=1,2,…,p,arg z=θ_j 是 A_s(z)的 2p 条 ρ(A_s)级 Borel 方向,j=1,2,…,2p,于是有 2p 个角域 S_j={z:θ_j<arg z<θ_j+1}.A_s(z)满足下列性质:在每个 S_j 内,要么存在某个 a_i,使得对 z∈S(θ_j+ε,θ_j+1-ε,r,∞),有

log1/(|A_s(z)-a_i|)>

C(θ_j,θ_j+1,ε,δ(a_i,A_s))T(|z|,A_s),(11)

其中 C(θ_j,θ_j+1,ε,δ(a_i,A_s))是依赖于 θ_j,θ_j+1,ε,和 δ(a_i,A_s)的正常数,要么存在 arg z=θ∈(θ_j,θ_j+1),使得

lim sup_r→∞(log(log|A_s(re^iθ)|))/(log r)=ρ(A_s).(12)

为了简便起见,下面用 C 代替常数 C(θ_j,θ_j+1,ε,δ(a_i,A_s)).若在 S_j 中存在 a_i使得式(11)成立,则在 S_j-1 和 S_j+1 中存在 arg z=θ 使得式(12)成立; 如果存在 θ∈(θ_j,θ_j+1)使得式(12)成立,则在 S_j-1 和 S_j+1 中有 a_i(a_i')分别使得式(11)成立.不失一般性,假设在 S₁ 中有一条射线 arg z=θ式使得(12)成立,则在 S₃,S₅,…,S_2p-1 的每个角域中都存在射线使得式(12)成立.应用引理 9,这样的角域开度为(π)/(ρ(A_s)).于是存在一个点列 z_n=r_ne^iθ 与有穷的亏值 a_j0,其中 r_n∈E₃∩(R₂,+∞)-(E₄∪[0,1]),θ∈(θ_j,θ_j+1),j=2,4,…,2p,lim_n→∞ r_n=∞,使得下列式子成立,

log1/(|A_s(r_ne^iθ)-a_j0)|>CT(r_n,A_s),(13)

|A₀(r_ne^iθ)|>exp{r^ρ(A₀)-ε_n},(14)

|A_j(r_ne^iθ)|<exp{r^ρ(b+ε)_n},j≠0,s,(15)

|(f^(l)(r_ne^iθ))/(f(r_ne^iθ))|≤B·T(2r_n,f)^2k,

l=1,2,…,k-1.(16)

结合式(13)～(16)和(1)有

exp{r^ρ(A₀)-ε_n} <|A₀(r_ne^iθ)|≤|(f^(k)(r_ne^iθ))/(f(r_ne^iθ))|+

…+|(f^(s)(r_ne^iθ))/(f(r_ne^iθ))|(|A_s(r_ne^iθ)-a_j0|+

|a_j0|)+…+|(f'(r_ne^iθ))/(f(r_ne^iθ))||A₁(r_ne^iθ)|≤

BT(2r,f)^2k(1+|a_j0|+

exp{-CT(r_n,A_s)}+(k-2)exp{r^b+ε_n}).

由 b+ε<ρ(A₀)-ε 及对充分大的 n,有 ρ₂(f)≥ρ(A₀).

定理12的证明 设f是方程(1)的任一非平凡解,a 是 A_s(z)的一个有穷 Borel 例外值,由引理6有

A_s(z)=h(z)e^Q(z)+a,

其中,h(z)是满足 ρ(h)<ρ(A_s)的整函数,Q(z)是满足 deg(Q)=ρ(A_s)的多项式.令 Q(z)=b_mz^m+b_m-1z^m-1+…+b₀,其中b_m=α_me^iθ_m,α_m>0,θ_m∈[0,2π),对任意的 ε∈(0,min((π)/(8m),(ρ(A₀))/2)),令

S_j={z:(-θ_m)/m+(2j-1)(π)/(2m)+ε}<arg z<

(-θ_m)/m+(2j+1)(π)/(2m)-ε},

j=0,1,…,2m-1,

应用引理7及ρ(h)<m=ρ(A_s),对任意的 z=re^iθ∈S_j,j=0,2,…,2m-2,当 r 充分大时,有

|A_s(re^iθ)-a|>exp{Cr^m}.(17)

对任意的 z=re^iθ∈S_j,j=1,3,…,2m-1,当 r 充分大时,有

|A_s(re^iθ)-a|<exp{-Cr^m}.(18)

其中 C 是正常数.我们考虑 m 个角域 S_i 中的一个,i=1,3,…,2m-1,不失一般性设为 S₁,于是对任意的 z=re^iθ∈S₁,当 r 充分大时式(18)成立.利用定理的条件及类似定理11的推导,存在点列 z_n=r_ne^iθ∈S₁,其中 lim_n→∞r_n=∞,满足式(14)～(16)及(18).再次利用类似于定理11的证明方法得 ρ₂(f)≥ρ(A₀).