令(M,ω)为一个复n维紧致的Hermitian流形,ω=(-1)^1/2g_i(-overj)dzⁱ∧d(-overz)^j为Kähler形式.本文中研究了带梯度项的广义复Monge-Ampère型方程的梯度估计

ψχⁿ_u=∑^n-1_k=0(n!)/(k!(n-k)!)c_kχ^k_u∧ω^n-k,(1)

其中,c_k均为满足∑^n-1_k=0c_k>0的非负常数,χ(z,ζ)为一个光滑的实(1,1)-形式,χ_u=χ(z,du)+(-1)^1/2(-over)u,ψ 为正的光滑函数,且

χ_ξ(-overη)(z,ζ):=χ(z,ζ)(ξ,(-overη)),ξ,η∈T^1,0_zM,

且(z,ζ)∈T^*_CM.(2)

若c₀=1且其他的常数为零,则方程(1)就是著名的复Monge-Ampère型方程.带梯度项的复Monge-Ampère型方程的一个特殊且重要的例子是Sasakian度量空间的测地线方程^[1].本研究的目的之一是将他们的估计推广到更一般的情形.当c₀=c₁=…=c_n-3=0时,笔者得到了方程(1)的C^2,α-估计^[2].

对于标准的方程而言,即 χ 为流形 M 上一个光滑的实(1,1)-形式,这类形如式(1)的方程的研究可追溯到文献[3-6],这些工作研究了复 Monge-Ampère 方程.从那以后,这类方程引起了很多有趣且重要的研究,可

参考文献[7-14]及其引用的文献.

众所周知,Hessian型完全非线性椭圆方程Dirichlet问题的梯度估计是非常难的.就笔者所知,即使在Riemann情形下,已知的也只不过4种情形.列举如下:1)Γ=Γ_n; 2)如果λ_j<0,对于Γ^σ,当σ>sup_Γ f,那么存在δ>0使得f_j≥δ∑f_i; 3)((-overM),g)的截面曲率非负; 4)在集合{λ∈Γ:inf_(-overM) ψ≤f(λ)≤sup_(-overM) ψ}上有 ∑f_i(λ)λ_i≥0,并且存在函数w∈C²((-overM))使得Δ²w≥χ.有兴趣的读者请

参考文献[15-18].与Riemann情形相比,复流形情形下的梯度估计更少.依据已知的结果,读者可

参考文献[10-11,19-21],在这些文献中,研究了复Monge-Ampère方程、反σ_k方程还有具非负全纯双截面曲率的紧致Kähler形上的复Hessian方程的梯度估计.

在陈述本文中主要结果之前,需要介绍一些符号.在局部坐标(z₁,…,z_n)下,记

_i=/(z_i),

^-_i=/((-overz)_i),

χ_i(-overj)=χ(z,du)(_i,^-_j),

χ_i(-overj)k:=Δ_k(χ_i(-overj))=χ_i(-overj),k+χ_{i(-overj),ζα}u_αk+χ_{i(-overj),(-overζ)α}u_(-overα)k,….(3)

同时需假设χ满足如下结构条件:

χ_{i(-overj),ζαζβ}=0,

χ_{i(-overj),ζα(-overζ)β}=0,

χ_{i(-overj),(-overζ)α(-overζ)β}=0.(4)

本文中的主要结果可如下表述:

定理1 如果条件(4)成立且存在一个函数u_-∈C²(M)使得 χ_{u_-}>0,且

ψχ^n-1_{u_-}-∑^n-1_k=0((n-1)!)/(k!(n-k)!)kc_kχ^k-1_{u_-}∧ω^n-k>0,(5)

那么对于方程(1)满足χ_u>0的解 u∈C³(M),存在一个依赖|ψ|_C^0,1(M)及其他已知信息的常数C,使得

sup_M|Δu|≤C(1+sup_M|Δu|).(6)

注1 定理 1推广了Guan等^[1]的梯度估计.条件(5)可看成一种锥条件^[13],有兴趣的读者可

参考文献 [9-10,12,22].

记 λ=λ(χ_u)为 χ_u关于Kähler形式ω的特征根.令 σ_k为一个初等对称函数,其定义为

σ_k(λ)=∑_{1≤i1<…<ik≤n}λ_i1…λ_ik,(7)

方程(1)可等价地写成

F(χ_u):=-∑_kc_k(σ_k(λ(χ_u)))/(σ_n(λ(χ_u)))=-ψ.(8)

本文中主要结果的关键是下面的引理1.Fang等^[9]首先对反σ_k方程证明这个引理1.Guan^[15-16]和Székelyhidi^[22]将它推广到更一般的Hessian方程.

引理1 假设条件(5)成立,那么存在两个正常数R₀,ε>0,使得当|χ_u|≥R₀时,有

F^i(-overj)((χ_{u_-})_i(-overj)-(χ_u)_i(-overj))≥ε(1+F^i(-overj)g_i(-overj)).(9)

本文中,使用陈联络Δ 进行计算.在局部坐标z=(z₁,…,z_n)下,使用如下符号:

v_i=Δ_/(zi)v,

v_ij=Δ_/(zj)Δ_/(zi)v,v_i(-overj)=Δ_{/((-overz)j/sub>)<Δ/(zi)v,….(10)}

给定一个 Hermitian矩阵A={a_i(-overj)},记

F^i(-overj)(A)=(F)/(a_i(-overj))(A),

F^{i(-overj),k(-overl)}(A)=(²F)/(a_i(-overj)a_k(-overl))(A).(11)

定理1的证明 考虑如下闸函数

=Ae^η,

η=B[u_--u-inf_(-overM)(u_--u)],

其中 A 和 B 为两个待定的正常数.

假设e^|Δu|² 在流形M的内部点 p∈M 达到最大值,记 W=|Δu|²,并且选取一个全纯局部坐标 z=(z¹,…,zⁿ),使得在 p 点处满足

g_i(-overj)=δ_ij,

χ_i(-overj)+u_i(-overj)=λ_iδ_ij,

F^i(-overj)=f_iδ_ij.(12)

由假设可知,在 p 点处有

{(W_i)/W+_i=0,

(W_(-overi))/W+_(-overi)=0,

(W_i(-overi))/W-(|W_i|²)/(W²)+_i(-overi)≤0.(13)

约定下文中的计算均在 p 点处进行.通过计算可知

W_i=∑_k(u_kiu_(-overk)+u_ku_i(-overk)),

W_i(-overi)= ∑_k|u_(-overk)i|²+2∑_kRe(u_i(-overi)ku_(-overk))+

∑_k,lR_{i(-overi)k(-overl)}u_lu_(-overk)+∑_k|u_i(-overk)-∑_lT^k_ilu_(-overl)|²-

∑_k|∑_lT^k_ilu_(-overl)|².(14)

由此

|W_i|²≤|Δu|²∑_k|u_ki|²-

2|Δu|²Re(u_ku_i(-overk)₍-overi)).(15)

对方程(8)进行求导可得

F^i(-overi)(u_i(-overi)k+χ_{i(-overi),ζα}u_αk+χ_{i(-overi),(-overζ)α}u_(-overα)k)=ψ_k-F^i(-overi)χ_i(-overi),k.(16)

现在,利用前文中的假设(4)得到

L(W)≥F^i(-overi)|u_ki|²-C|Δu|(1+∑F^i(-overi))-

C|Δu|²∑F^i(-overi),(17)

式中的L为方程(8)的线性化算子

Lv=F^i(-overj)v_i(-overj)+F^i(-overj)χ_{i(-overj),ζα}v_α+F^i(-overj)χ_{i(-overj),(-overζ)α}v_(-overα),

v∈C²(M).(18)

简单计算可得

_i=η_i,

_i(-overi)=(|η_i|²+η_i(-overi)).(19)

使用 Cauchy-Schwarz 不等式和假设(4),得到

2^-1Re(u_ku_i(-overk)_(-overi))≥2Re(λ_iu_iη_(-overi))-

1/2|Δu|²|η_i|²-C|Δu|²(20)

和

L=Lη+F^i(-overi)|η_i|².(21)

再由式(13),(15)～(21),有

|Δu|²(1/2F^i(-overi)|η_i|²+Lη)-

C/|Δu|(1+∑F^i(-overi))-C|Δu|²

∑F^i(-overi)-(C|Δu|²)/∑F^i(-overi)≤

-2Re(f_iλ_iu_iη_(-overi)).(22)

下面控制上式的右端项.不妨假设 |Δu|>|Δu_-|,注意到 ∑f_iλ_i≤nψ,可知

-2∑Re(f_iλ_iu_iη_(-overi))≤

4B|Δu|²∑f_iλ_i≤

4nBψ|Δu|².(23)

可以验证 ∑F^i(-overi) 有一个正的下界,即

∑F^i(-overi)≥κ>0.

下面,依据引理1来进行讨论.假设 |λ|≤R₀,其中 R₀,ε 均为引理 1中的常数,那么存在常数K₁>0,使得

1/(K₁)≤F^i(-overi)=f_i≤K₁

是平凡的.

若|λ|≥R₀,则由式(4)和引理 1可知

L(u_--u)≥ε∑F^i(-overi)≥(εκ)/(1+κ)(1+∑Fⁱⁱ).

因此,

(Bεκ)/(1+κ)(1+∑F^i(-overi))-C/(|Δu|)(1+∑F^i(-overi))-

(C+C/)∑F^i(-overi)-4nBψ≤0.(24)

不失一般性,可假设 λ₁≥…≥λ_n.如果 A,B1,并且

F^n(-overn)>K:=8n(1+κ)sup_(-overM) ψ/(εκ),

那么

|Δu|≤C.

对于余下的情形,可假设对任意的1≤i≤n 有f_i=F^i(-overi)≤K.需要证明

∑f_iλ²_i≤C.(25)

为证明式(25),仅需要验证存在某个正数δ>0,使得λ_n≥δ.

综上可知,如果λ_i≤λ_j,则

f_jλ_j≤f_iλ_i,

因而,

f_nλ_n≥1/n∑f_iλ_i≥ψ/n,

λ_n≥ψ/(nK).(26)

由Cauchy-Schwarz 不等式

-2Re(f_iλ_iu_iη_(-overi))≤

1/4|Δu|²f_i|η_(-overi)|²+4f_iλ²_i.(27)

由式(22),(25),(27)和引理1可得到定理1梯度估计的证明.