车辆横摆运动及侧向运动的期望状态可由车辆二自由度模型表征,此处忽略车辆的垂向运动以及俯仰运动,只考虑车辆在绕车辆坐标系Z轴(Z轴垂直于XY轴平面)方向的横摆运动和沿Y轴方向的侧向运动,建立车辆二自由度模型^[12],并假设车身是刚性的,纵向速度视为不变,附着条件良好,忽略空气阻力和摩擦阻力,轮胎处于线性范围内,车辆模型如图1所示.

图1 车辆二自由度模型
Fig.1 2 degree of freedom model of vehicle

应用牛顿第二定律来描述车辆二自由度模型:

F_{y_rl}+F_{y_rr}+(F_{x_fl}+F_{x_fr})sin δ_f+(F_{y_fl}+

F_{y_fr})cos δ_f=m((·overV)_y+V_xγ),(1)

l_f(F_{x_fl}+F_{x_fr})sin δ_f+l_f(F_{y_fl}+

F_{y_fr})cos δ_f-l_r(F_{y_rl}+F_{y_rr})+

0.5t_w(F_{x_fr}-F_{x_fl})cos δ_f+0.5t_w(F_{x_rr}-

F_{x_rl})+0.5t_w(F_{y_fl}-F_{y_fr})sin δ_f=I_z(·overγ).(2)

其中,F_{x_fl}、F_{x_fr}、F_{x_rl}和F_{x_rr}分别表示各轮的纵向力,F_{y_fl}、F_{y_fr}、F_{y_rl}和F_{y_rr}分别表示各轮的侧向力,β为质心侧偏角,γ是横摆角速度,m表示整车质量,l_f与l_r分别为车身前轴距和后轴距,t_w为车辆轮距,δ_f为前轮转角,V_x为纵向车速,V_y为横向车速,I_z为车辆绕垂直轴的转动惯量.

车辆稳态过弯时,由于假设轮胎处于线性区,轮胎的侧偏角与其所受侧向力成正比关系,即:

{F_{y_f}=C_fα_f,

F_{y_r}=C_rα_r,(3)

轮胎侧偏角由式(4)可得:

{ α_f=δ_f-β-l_fγV^-1_x,

α_r=-β+l_rγV^-1_x,(4)

其中C_f,C_r分别表示前后轮胎侧偏刚度.转弯时前轮转角较小,有sin(δ_f)≈0,cos(δ_f)≈1,令直接横摆力矩

M_z=(t_w)/2(F_{x_fr}-F_{x_fl})+(t_w)/2(F_{x_rr}-F_{x_rl}).(5)

则综合式(1)～(5)用状态空间方程式表达如下

(·overx)=Ax+Bu+Eδ_f.(6)

其中:

x=[β γ]^T,

A=[(-2(C_f+C_r))/(mV_x)(2(C_rl_r-C_fl_f))/(mV²_x )-1

(2(C_rl_r-C_fl_f))/(I_z)(-2(C_fl²_f+C_rl²_r))/(I_zV_x)],

B=[0 I^-1_z]^T,

E=[2C_f(mV_x)^-1 2C_fl_fI_z^-1]^T,

u=M_z.

车辆二自由度模型可作为稳定系统期望计算模型,包含车辆质量、前后侧偏刚度、轮距、轴距等反映汽车侧向运动最重要的几个量.当车辆以不变的纵向速度稳态过弯时,理想的横摆角速度和理想质心侧偏角^[9,13]为:

γ_d=(V_x)/(l_f+l_r+(mV²_x(l_rC_r-l_fC_f))/(2C_fC_r(l_f+l_r)))δ_f,(7)

β_d=(l_r-(l_fmV²_x)/(2C_r(l_f+l_r)))/(l_r+l_f+(mV²_x(l_rC_r-l_fC_f))/(2C_rC_f(l_f+l_r)))δ_f.(8)

由式(7)和(8)可知,当车辆前轮转角、纵向车速和车辆的结构参数确定时,车辆稳态过弯时的横摆角速度及质心侧偏角随之确定.但这些是基于轮胎和地面附着条件良好的情况下的假设,而在实际情况下车辆会受到轮胎和地面附着约束限制.路面的摩擦系数不能提供太高的横摆角速度下的侧向力,因此横摆角速度必须控制在轮胎与路面的摩擦系数所确定的上限范围内,并且大的质心侧偏角会使得轮胎失去线性特性而接近附着极限,所以对侧偏角的限制也很重要.

车辆在转弯时,质心的侧向加速度

a_y=V_xγ+a_xtan β+V_x(·overβ)(1+tan² β)^1/2.(9)

其中a_x为车辆的纵向加速度.侧向加速度受到地面与轮胎之间的摩擦系数μ限制:

a_y≤μg,(10)

其中g表示重力加速度.

由于V_x不变,因此a_x较小,另外车辆运动中,质心侧偏角一般都较小,故式(9)中后两项可忽略,综合分析取横摆角速度的上限值为

γ_max=0.85μg/V_x.(11)

因此控制输出的理想横摆角速度可设置为

γ_des={γ_d, |γ_d|≤γ_max,

γ_maxsgn γ_d, |γ_d|>γ_max.(12)

车辆的质心侧偏角最大值一般由经验选为

β_max=tan^-1(0.02 μg).(13)

与控制输出的理想横摆角速度类似,由式(8)和(13)可知控制输出的理想质心侧偏角为

β_des={β_d, |β|≤β_max,

β_maxsgn β_d, |β|>β_max.(14)

横向稳定控制器控制实现的关键是稳定跟随理想的车辆横摆角速度及理想质心侧偏角.构建滑模控制器的滑模函数:

s=ξ(γ-γ_des)+(1-ξ)(β-β_des),(15)

(·overs)=ξ((·overγ)-(·overγ)_des)+(1-ξ)((·overβ)-(·overβ)_des).(16)

其中,下标des表示理想值,ξ为权值.

本文中采用等效滑模控制,等效滑模控制律由等效控制项和切换鲁棒控制项构成,不考虑干扰和不确定性.系统稳定时,(·overs)=0.综合式(2)、(5)和(16),可得到滑模控制器输出的横摆力矩

u_eq=I_z((·overγ)_des-(1-ξ)ξ^-1((·overβ)-(·overβ)_des))+

2l_rC_r(-β+l_rγV^-1_x)-

2l_fC_f(δ_f-β-l_fγV^-1_x).(17)

当系统不稳定时,需要通过滑模切换鲁棒控制项控制输出的附加横摆力矩u_s,进而将系统拉到滑模面上.本文中通过模糊输出不断调整切换鲁棒控制项的系数K值,来抑制系统抖振现象,采用饱和函数sat(s)代替控制律中的符号函数sgn s,进一步削弱抖振,设δ是“边界层”厚度,即

u_s=-Ksat(s),(18)

sat(s)={sgn s, |s|>δ,

s/δ, |s|≤δ.(19)

可得到控制律为

M_z=u_eq+u_s,(20)

将式(20)带入式(16)可得

(·overs)=-sat(s)/K,(21)

进一步有

s(·overs)=-η|s|≤0,(22)

由式(22)可知系统满足稳定性要求.

为了克服参数不确定性以及外界不确定因素的影响,并且满足滑模运动存在的条件,通过模糊控制的思想来调整优化滑模控制器.本文中选取s和(·overs)作为模糊控制的输入,滑模切换鲁棒控制项系数K为输出,根据经验利用模糊规则来调整K的大小,使滑模函数存在并达到s(·overs)≤0的条件.将它们分别转化为论域为s[-3,3]、(·overs)[-3,3]和K[-1,1]的模糊集合,与之对应的是s、(·overs)和K的模糊语言都为NB、NM、NS、ZO、PS、PM、PB(分别表示负大、负中、负小、零、正小、正中和正大).s、(·overs)和K模糊子集隶属度函数均由Z函数、S函数及三角函数组成,三者曲型线型一样,仅论域取值不同,其中s的隶属度函数如图2所示.

图2 滑模面s的隶属度函数
Fig.2 Membership functions of sliding mode surface s

本文中提供49条模糊规则,模糊规则设置原则为:当滑模函数s及其导数较大时,增大增益系数K,即当前滑模函数离滑模面s=0较远时,用较大的增益系数K将其拉回滑模面; 当滑模函数s及其导数较小时,减小增益系数K.具体规则如表1所示.

在本文中使用Mamdani推理法解模糊,模糊推理后产生的控制量通过反模糊化成精确的值

表1 模糊控制规则
Tab.1 Rule of fuzzy control

K_b=∑⁴⁹_i=1(μ_kiK_i)/∑⁴⁹_i=1μ_ki.(23)

其中,K_b表示解模糊后的精确值,K_i表示模糊控制的论域中的值,μ_ki是与其对应的隶属度值.

表2 车辆参数
Tab.2 Vehicle parameters

为了验证模糊滑模控制输出的附加横摆力矩的有效性,需将横摆力矩分配到各个车轮,文中采用平均分配的方法,即4个车轮的纵向力对质心处产生力矩相等.故F_{x_fl},F_{x_fr}大小相等,方向相反; F_{x_rl},F_{x_rr}大小相等,方向相反.又由于分布式电动车辆满足车辆的动力要求:

F_{x_fl}+F_{x_fr}+F_{x_rl}+F_{x_rr}=ma_x,(24)

将控制律式(20)分别带入式(5)和(24)便可求出各轮的纵向力,进而求得分配到各轮的转矩

T_eq=F_xiR.(25)

其中,F_xi为4个轮胎的地面纵向力,R为轮胎滚动半径.