基金项目:国家自然科学基金(11171278); 福建省中青年教师教育科研项目(B17154)
通信作者:cainanlian@163.com
(School of Sciences,Jimei University,Xiamen 361021,China)
hazard rate function; increasing failure rate(IFR); dependence; parallel system; series system
DOI: 10.6043/j.issn.0438-0479.201703040
考虑具有广义二维Gumbel分布、同边际的两部件组成的串联系统和并联系统,研究了并联系统和串联系统的故障率的单调性质并得到它们的界; 找出了串联系统的故障率函数具有倒浴盆曲线(浴盆曲线)的充分条件; 证明了当部件是IFR(increasing failure rate)时,并联系统也是IFR.这些结果部分推广了Joo 等的相应结论.
We consider systems with two components following a generalized Gumbel joint distribution and a same marginal distribution.We study the monotony of their hazard rate functions and gain the bounds of them.A sufficient condition of hazard rate function on series system which has an upside-down bathtub shape(a bathtub shape)is found.It is shown that when component is increasing failure rate(IFR),so is parallel system.These results partially generalized some conclusions on Joo and Mi.
先介绍几个概念:
定义1[1-2] 设非负随机变量X的生存函数为(-overF)(x).
(i)令λ(t)=-d/(dt)(ln(-overF)(t)),t>0,称λ(t)是随机变量X的故障率;
(ii)称随机变量X是IFR(increasing failure rate),如果X的故障率λ(t)关于t单调不降.
故障率的概率解释:当Δt很小时,λ(t)表示部件在t之前正常工作条件下,在[t,t+Δt]中失效的概率.
接下来介绍下面的二维联合分布函数.
设F1(x),F2(x),x>0为非负随机变量的分布函数,可以构造如下二维联合分布函数
F(x1,x2)=F1(x1)F2(x2)[1+α(1-F1(x1))
(1-F2(x2))],x1,x2>0,-1≤α≤1.(1)
对应的联合生存函数为
(-overF)(x1,x2)=(-overF)1(x1)(-overF)2(x2)[1+αF1(x1)
F2(x2)],x1,x2>0,-1≤α≤1.
特别地,当(-overF)1(x1)=e-x1,x1>0;(-overF)2(x2)=e-x2,x2>0时,
F(x1,x2)=(1-e-x1)(1-e-x2)
[1+αe-x1-x2],x1,x2>0.(2)
(-overF)(x1,x2)=e-x1-x2[1+α(1-e-x1)
(1-e-x2)],x1,x2>0.
定义2(i)如果(X1,X2)的联合分布函数为式(2),称(X1,X2)服从二维标准Ⅱ型Gumbel指数分布;
(ii)如果(X1,X2)的联合分布函数为式(1),称(X1,X2)服从广义的二维Gumbel分布,该分布也称为FGM copula(Farlie-Gumbel-Morgenstern copula)分布[3]函数.
二维标准Ⅱ型Gumbel指数分布由Gumbel提出[4],显然它是广义的二维Gumbel分布(即FGM copula分布)的特殊情形.
容易得出,设随机向量(X1,X2)服从广义的二维Gumbel分布(2),则当α=0时,(X1,X2)是相互独立的; 当α≠0时,(X1,X2)是不相互独立的.
近年来,FGM copula分布在风险模型、应用统计中的应用研究引起了国内外很多学者的关注.如Tahmasebi等[5]研究了样本具有FGM copula分布时相伴次序统计量相关的性质; Yan等[6]研究了FGM copula分布的某些老化性质; Jiang等[7]探讨了风险模型中,理赔量和理赔时间服从FGM copula分布时破产前最大盈余的分布.
故障率和次序统计量是可靠性理论中的重要概念.最大、最小次序统计量分别对应着并联、串联系统寿命.近年来,有关故障率和次序统计量的研究引起了国内外学者的广泛关注,很多学者在独立假设下研究次序统计量.如Boland等[8]探讨了相互独立的不同分布的样本次序统计量在故障率次序下的随机比较性质,并得到了两个独立具有指数分布的部件并联系统的故障率的上界; Khaledi等[9]研究了多个相互独立的具有不同的指数分布的部件的并联系统故障率的性质,并得到了多个不同的指数分布部件并联系统故障率的上界,该上界优于Boland等[8]得到的; 更多的文献可参见Balakrishnan等[10]的文章,该文综述了近年来在样本独立情形下有关次序统计量的随机比较性质的研究.
Joo等[11]在相依假设下,研究了两个部件的并联、串联系统的故障率性质.他们假设部件寿命的联合分布服从二维标准Ⅱ型Gumbel指数分布(2)时,得出了并联系统和串联系统寿命的故障率的一些性质.
本文中进一步讨论了两个同边际分布的部件,其联合分布函数为广义的二维Gumbel分布(1)时,并联系统和串联系统寿命的故障率性质,推广了文献[11]中的某些结论,得到某些更一般的结果.
本文中均假设随机变量非负,分布函数是绝对连续的,具有概率密度函数; 文中提到“单调增加”均指“单调不降”,“单调下降”均指“单调不增”.
假设(X1,X2)的联合分布函数为式(1),X1,X2有相同的分布函数为F1(x)及故障率函数λ1(t).以X1,X2为部件的串联系统寿命记为X(1)=min(X1,X2),则可求得X(1)的生存函数为
(-overF)(1)(t)=(-overF)21(t)[1+α(1-(-overF)1(t))2],t>0.
求导得密度函数为
f(1)(t)=-(d)/(dt)(-overF)(1)(t)=2f(t)(-overF)1(t)
[1+αF1(t)(-1+2F1(t))],t>0.
所以X(1)的故障率函数为
λ(t,α)=(f(1)(t))/((-overF)1(t))=2λ1(t)
(1+αF1(t)[-1+2F1(t)])/(1+αF21(t)).(3)
上式恒等变形得
λ(t,α)=2λ1(t)[2-(αF1(t)+1)/(αF21(t)+1)].(4)
先介绍下面的引理.
引理1 令u0=1/(1+(1+α)1/2),H(u)=(αu+1)/(αu2+1),0≤u≤1.则
(i)-1≤α<0 时,当0<u<u0时,H(u)单调下降; 当u>u0时,H(u)单调增加.
(ii)0<α≤1 时,当0<u<u0时,H(u)单调增加; 当u>u0时,H(u)单调下降.
证明 令u1=1/(1-(1+α)1/2),计算得
H'(u)=-(α2u2+2αu-α)/((1+αu2)2)=-(α2)/((1+αu2)2)
(u-u1)(u-u0).
(i)-1≤α<0时,u1>1,u-u1<0.当0<u<u0时,H'(u)<0,故H(u)单调下降; 当u>u0时,H'(u)>0,H(u)单调增加.(ii)0<α<1时,u1<0,u-u1>0.当0<u<u0时,H'(u)>0,故H(u)单调增加; 当u>u0时,H'(u)<0,H(u)单调下降.
下面讨论串联系统寿命X(1)的故障率的性质,其中的定理都采用上面的记号.
定理1 串联系统寿命X(1)的故障率λ(t,α)满足:
(i)0<α≤1时,λ(t,α)≤2λ1(t);
(ii)-1≤α<0时,2λ1(t)≤λ(t,α)≤4λ1(t);
(iii)α=0时,λ(t,α)=2λ1(t).
证明(i)0<α≤1时,
(αF1(t)+1)/(αF21(t)+1)≥(αF1(t)+1)/(αF1(t)+1)=1,
代入式(4),(i)得证.
(ii)-1≤α<0时,
0≤(αF1(t)+1)/(αF21(t)+1)≤(αF21(t)+1)/(αF21(t)+1)=1,
代入式(4),(ii)得证.
(iii)α=0代入式(4)即得.
定理2 串联系统寿命X(1)的故障率λ(t,α)有如下性质:
(i)λ(t,α)关于α单调下降,α∈[-1,1];
(ii)α=-1时,设X1是IFR,则X(1)也是IFR.
证明(i)由式(4)得
(d)/(dα)[λ(t,α)]=-2λ1(t)(F1(t)(-overF)1(t))/((1+αF21(t))2)<0,
(i)得证.
(ii)α=-1时,由式(4)得:
λ(t,α)=2λ1(t)(2-1/(F1(t)+1)),
题设X1是IFR,即λ1(t)关于t单调增加,从而λ(t,α)关于t单调增加,(ii)得证.
注1 当部件寿命X1表示均值为1的指数分布时,定理2的结论就是文献[11]中定理3.4和定理3.3(i).
定理3 令u0=1/(1+(1+α)1/2),t0=F-11(u0)=sup{x:F(x)≤u0}.串联系统寿命X(1)的故障率λ(t,α)有如下性质:
(i)-1≤α<0,设λ1(t)满足0<t<t0,λ1(t)关于t单调增加; t>t0,λ1(t)为常数.则X(1)的故障率λ(t,α)有如下性质:0<t<t0,λ(t,α)关于t单调增加; t>t0,λ(t,α)关于t单调下降(λ(t,α)的曲线为倒浴盆曲线).
(ii)0<α≤1,设λ1(t)满足0<t<t0,λ1(t)为常数; t>t0,λ1(t)关于t单调增加.则X(1)的故障率λ(t,α)也有如下性质:0<t<t0,λ(t,α)关于t单调下降; t>t0,λ(t,α)关于t单调增加(即λ(t,α)的曲线为浴盆曲线).
(iii)α=-1,设X1是IFR,则X(1)也是IFR.
证明 令H(u)=(αu+1)/(αu2+1),0≤u≤1.由式(4)得
λ(t,α)=2λ1(t)[2-H(F1(t))].(5)
(i)-1≤α<0,u0=F1(t0).
当0<t<t0时,0<u=F1(t)≤u0,由引理1(i),H(u)关于u单调下降,因u=F1(t)关于t单调增加,故H(F1(t))关于t单调下降,题设λ1(t)关于t单调增加,由式(5)得:λ(t,α)关于t单调增加.
当t>t0时,u=F1(t)>u0,由引理1(i),H(u)关于u单调增加,因u=F1(t)关于t单调增加,故H(F1(t))关于t单调增加,题设λ1(t)为常数,由式(5)得:λ(t,α)关于t单调下降.
(ii)证明方法同(i),略去.
(iii)α=-1,引理1中u0=1,H(F1(t))=1/(F1(t)+1)关于t单调下降,题设λ1(t)关于t单调增加,由式(5)得λ(t,α)关于t单调增加.
下面的两个例子说明,存在满足定理3的条件的分布.
例1 设随机变量X的生存函数为
(-overF)(x)={exp{-x2},0<x<0.5,
exp{-x+1/4},x≥0.5,
X的故障率
λ(t)={2t,0<t<0.5,
1,t>0.5.
λ(t)关于t∈[0,0.5]单调增加,当t>0.5为常数.
例2 设随机变量X的生存函数为
(-overF)(x)={exp(-x),0≤x≤1,
exp{-x2},x≥1.
X的故障率
λ(t)={1,0≤t≤1,
2t,t>1.
当t∈[0,1]时,λ(t)为常数,t>1时单调增加.
由定理3容易得如下的推论.
推论1 设t0=ln(1+1/(1+α)1/2),(X1,X2)的联合分布函数为式(2),则X(1)的故障率λ(t,α)有如下性质:
(i)-1≤α<0,0<t<t0,λ(t,α)关于t单调增加; t>t0,λ(t,α)关于t单调下降,此时(λ(t,α)的曲线为倒浴盆曲线.
(ii)0<α≤1,0<t<t0,λ(t,α)关于t单调下降; t>t0,λ(t,α)关于t单调增加,此时λ(t,α)的曲线为浴盆曲线.
(iii)α=-1,X(1)是IFR.
证明 令F1(t)=1-e-t,t>0.F1(t0)=1/(1+(1+α)1/2),得t0=ln(1+1/(1+α)1/2).由定理3,推论1得证.
注2 推论1即为文献[11]中定理3.3(ii).
假设(X1,X2)的联合分布函数为式(1),X1,X2有相同的分布函数F1(x),密度函数f(t),故障率函数λ1(t).以X1,X2为部件的并联系统寿命为X(2)=max(X1,X2).求得X(2)的生存函数为
(-overF)(2)(t)=2(-overF)1(t)-(-overF)21(t)[1+
α(1-(-overF)1(t))2],t>0.
即
(-overF)(2)(t)=2(-overF)1(t)-(1+α)(-overF)21(t)+
2α(-overF)31(t)-α(-overF)41(t),t>0.
求导得密度函数
f(2)(t)=-(d)/(dt)(-overF)(2)(t)=2f(t)[1-(1+α)
(-overF)1(t)+3α(-overF)21(t)-2α(-overF)31(t)],t>0.
从而X(2)的故障率函数为
h(t,α)=(f(2)(t))/((-overF)(2)(t))=2λ1(t)
(1-(1+α)(-overF)1(t)+3α(-overF)21(t)-2α(-overF)31(t))/(2-(1+α)(-overF)1(t)+2α(-overF)21(t)-α(-overF)31(t)),
化简得:
h(t,α)=2λ1(t)
[2-(α(-overF)21(t)-(1+α)(-overF)1(t)+3)/(2-(1+α)(-overF)1(t)+2α(-overF)21(t)-α(-overF)31(t))].(6)
令
K(u,α)=(3-(1+α)u+αu2)/(2-(1+α)u+2αu2-αu3),
0≤u≤1.
则
h(t,α)=2λ1(t)[2-K((-overF)1(t),α)].(7)
下面讨论并联系统寿命X(2)的故障率h(t,α)的性质,以下定理都采用上面的记号.
定理4 并联系统寿命X(2)的故障率h(t,α)≤4λ1(t).
证明 由式(7),只要证明:0≤u<1时,K(u,α)>0即可.
-1≤α≤1时,K(u,α)的分子为:
3-(1+α)u+αu2=2+(1-u)(1-αu)≥2.
(i)当0≤α≤1时,K(u,α)的分母为:
2-(1+α)u+2αu2-αu3≥2-(1+α)u+
αu2=1+(u-1)(αu-1)≥1;
(ii)当-1≤α<0时,K(u,α)的分母为:
2-(1+α)u+2αu2-αu3=(u-1)(αu-1)+
(1+αu2)+(-αu3)>0.
所以K(u,α)>0,从而h(t,α)=2λ1(t)[2-K((-overF)1(t),α)]≤4λ1(t).
定理5 令t0=(-overF)-11((3-51/2)/2).设-1≤α1<α2≤1,则当0<t<t0,有h(t,α1)≤h(t,α2); 当t>t0,有h(t,α1)≥h(t,α2).
证明 计算得
(2-(1+α)u+2αu2-αu3)2(d)/(dα)K(u,α)=
-u(u-1)(u2-3u+1)=
-u(u-1)(u-(3+51/2)/2)(u-(3-51/2)/2).
由于u(u-1)(u-(3+51/2)/2)>0,故当u<(3-51/2)/2,(d)/(dα)K(u,α)>0,K(u,α)关于α单调增加; 当u>(3-51/2)/2,(d)/(dα)K(u,α)<0,K(u,α)关于α单调下降.注意到u<(3-51/2)/2t>t0,故命题得证.
推论2(X1,X2)的联合生存函数为式(2),-1≤α1<α2≤1.则并联系统寿命X(2)的故障率h(t,α)有如下性质:当0<t<t0,h(t,α1)≤h(t,α2); 当t>t0,h(t,α1)≥h(t,α2),其中t0为方程e3t-4e2t+4et-1=0的唯一正根.
证明 在定理5中令(-overF)1(t)=e-t,得出t0满足e-t0=(3-51/2)/2,经计算易得出t0满足方程e3t-4e2t+4et-1=0,是方程的唯一正根.
注3 推论2就是文献[11]中定理3.6.
引理2 令0≤u<1,
K(u,α)=(3-(1+α)u+αu2)/(2-(1+α)u+2αu2-αu3),
A(u,α)=(2-(1+α)u+2αu2-αu3)2
(d)/(du)K(u,α),
则
(i)A(u,α)=(1+α)+8αu(u-1)+u2(1-u)[2α+α2(1-u)];
(ii)A(u,α)=(1+α)+6αu(u-1)-2αu(1-u)2+α2u2(1-u)2.
证明 计算得A(u,α)=1+α-8αu+(10α+α2)u2-(2α+2α2)u3+α2u4,则(i)、(ii)易得.
定理6 对任意-1≤α≤1,设X1是IFR,则并联系统寿命X(2)也是IFR.
证明(i)0≤α≤1,由于u(u-1)≥-1/4,及0≤u<1,由引理2(i)得
(2-(1+α)u+2αu2-αu3)2(d)/(du)K(u,α)=
(1+α)+8αu(u-1)+u2(1-u)[2α+
α2(1-u)]≥(1+α)-2α+0=1-α≥0.
(ii)-1≤α<0,由引理2(ii)得
A(u,α)=(1+α)+6αu(u-1)-
2αu(1-u)2+α2u2(1-u)2≥0.
故对于-1≤α≤1,K(u,α)关于u∈[0,1)单调增加.注意到(-overF)1(t)关于t单调下降,题设λ1(t)关于t单调增加,由式(7)得h(t,α)关于t单调增加.
由于指数分布的故障率为常数,由定理6可以得出如下的推论.
推论3 设(X1,X2)的联合分布函数为(2),则对任意-1≤α≤1,并联系统寿命X(2)是IFR.
注4 推论3即为文献[11]中定理3.5.