本文中所考虑的代数均为任意域上的有限维代数,代数上的模为有限生成右模.设A是域上的有限维代数,A上的全体有限生成右模构成的范畴记为modA,D^b(A)表示modA 上有界复形的导出范畴; P_A 表示有限生成投射模构成的范畴,K^b(P_A)表示P_A上有界复形的同伦范畴.设M∈modA,pdM表示M的投射维数.

广义AR猜想 称A满足广义AR猜想,如果任意M∈modA,满足当i>n时,Extⁱ_A(M,MA)=0,则pdM≤n.

当n=0时广义AR猜想就是经典的AR猜想.一般地,满足AR猜想的代数也满足广义AR猜想.Wei^[1]证明了广义AR猜想是倾斜等价的不变量,Pan^[2]和Diveris等^[3]利用不同的方法证明了广义AR猜想也是导出等价的不变量.

设M,N是三角范畴C中的两个对象,如果当|i|充分大,即|i|0时,Hom_C(M,N[i])=0,则记M⊥N.设X,Y是三角范畴C的两个加法满子范畴,如果任意M∈X,N∈Y,有M⊥N,则记X⊥Y.文献[3]中将广义AR猜想推广到导出范畴:称D^b(A)满足广义AR 猜想,如果任意M∈D^b(A)满足M⊥M,M⊥A,则M∈K^b(P_A).导出范畴上的广义AR猜想与模范畴上的广义AR猜想是等价的,具体地说,如果D^b(A)满足广义AR猜想当且仅当A满足广义AR 猜想^[3].本文中利用导出范畴的广义AR猜想证明三角矩阵代数广义AR 猜想的保持性问题.

本节利用silting复形刻画导出范畴上广义AR猜想.silting复形的定义最早由Keller等^[4]给出,具体定义如下:

定义1 称复形T是域上的有限维代数A的silting复形,如果T∈K^b(P_A)满足如下两个条件:

(i)Hom_K^b(PA)(T,T[i])=0,任意i>0;

(ii)thickT=K^b(P_A),这里thickT表示三角范畴包含T的最小的有厚度子范畴.

例1 由定义1可以看出A作为K^b(P_A)上的stalk复形是silting复形.

引理1 如果M⊥N,则M⊥thickN.

证明 由文献[3],知thickM⊥thickN.因为M∈thickM,故M⊥thickN.

设X,Y是三角范畴C的加法满子范畴,X与Y的扩张子范畴定义为

X*Y={Z∈C|存在三角X→Z→Y→X[1],

其中X∈X,Y∈Y},则由三角范畴的八面体公理,算子“*”满足结合律.

引理2 设A,C均为域上的有限维代数.如果三角函子j_*:D^b(C)→D^b(A)满足j_*T∈K^b(P_A),其中T 是C上的silting复形,则j_*K^b(P_C)K^b(P_A).

证明 根据文献[5],K^b(P_C)=∪_l≥0T [-l]*…*T[l],其中T=addT.因此对任意X∈K^b(P_C),不失一般性可不妨设X∈T*…*T[n].若n=0,即X∈T,显然有j_*X∈K^b(P_A).若n=1,则存在三角

T₁→X→T₂[1]→T₁[1],(1)

其中T₁,T₂∈T.用函子j_*作用式(1),可得三角

j_*T₁→j_*X→j_*T₂[1]→j_*T₁[1].(2)

由于三角(2)中的第1,3项满足j_*T₁,j_*T₂[1]∈K^b(P_A),所以j_*X∈K^b(P_A).进一步地,对n 作归纳,可证得j_*X∈K^b(P_A).故j_*K^b(P_C)K^b(P_A).

下列命题给出了广义AR猜想的等价刻画.

命题1 下列叙述等价

(i)D^b(A)满足广义AR猜想;

(ii)对任意的silting复形T以及任意M∈D^b(A),若M⊥M,M⊥T,则M∈K^b(P_A).

证明(i)(ii):如果silting复形T满足M⊥T,则由引理1,M⊥thickT,所以M⊥A.因为D^b(A)满足广义AR猜想,所以M∈K^b(P_A).

(ii)(i):取T=A即可得证.

定义2^[6] 设D,D',D″为三角范畴,则D关于D'与D″的recollement,记作

,

是指三角范畴的6个正合函子:

i_*=i_!:D'→D; i^*,i^!:D→D';

j^*=j^!:D→D″; j_*,j_!:D″→D,

满足如下4个条件:

(i)(i^*,i_*),(i₁,i^!),(j_!,j^!)和(j^*,j_*)是伴随对;

(ii)i_*,j_!和j_*是满嵌入函子;

(iii)j^*i_*=0;

(iv)对D中任一对象X,可以确定D中两个三角

i_!i^!X→X→j_*j^!X→i_!i^!X[1],

j_!j^!X→X→i_*i^*X→j_!j^!X[1].

引理3^[7] 如果函子F:D^b(A)→D^b(B)有右伴随函子,则F(K^b(P_A))K^b(P_B).

引理4 设A是有限维代数,如果A的导出范畴D^b(A)允许有一个关于有限维代数B,C的导出范畴D^b(B),D^b(C)的recollement,即

,

则

(i)如果D^b(A)满足广义AR猜想,则D^b(C)也满足广义AR猜想;

(ii)如果D^b(C)满足广义AR猜想且gl.dimB<∞,则D^b(A)也满足广义AR猜想.

证明(i)设N∈D^b(C)满足N⊥N,N⊥C,则当|i|0时,

Hom_D^b(A)(j_!N,j_!N[i])

Hom_D^b(C)(N,N[i])=0,

即j_!N⊥j_!N.因为N⊥C,由引理1,N⊥K^b(P_C).又因为j^!有右伴随j_*,由引理3,j^!A∈j^!K^b(P_A)K^b(P_C),从而N⊥j^!A.所以当|i|0 时,

Hom_D^b(A)(j_!N,A[i])

Hom_D^b(C)(N,j^!A[i])=0,

即j_!N⊥A.由A满足广义AR猜想,j_!N⊥j_!N,j_!N⊥A,知j_!N∈K^b(P_A).故再由引理3,有

Nj^!j_!N∈K^b(P_C).

(ii)设X∈D^b(A)满足X⊥X,X⊥A.考虑三角

j_!j^!X→X→i_*i^*X→j_!j^!X[1],(3)

用函子Hom_D^b(A)(-,X)作用三角式(3),有正合列

Hom_D^b(A)(X,X[i])→

Hom_D^b(A)(j_!j^!X,X[i])→

Hom_D^b(A)(i_*i^*X,X[i+1]).

因为gl.dimB<∞,D^b(B)三角等价于K^b(P_B),则当|i|0时,

Hom_D^b(A)(i_*i^*X,X[i+1])

Hom_D^b(B)(i^*X,i^!X[i+1])

Hom_K^b(PB)(i^*X,i^!X[i+1])=0.

又因为X⊥X,所以当|i|0时,Hom_D^b(A)(X,X[i])=0,进而

Hom_D^b(C)(j^!X,j^!X[i+1])

Hom_D^b(A)(j_!j^!X,X[i])=0,

即j^!X⊥j^!X.用函子Hom_D^b(A)(-,A)作用三角(3),利用上述方法可证得j^!X⊥j^!A,再由引理1,j^!X⊥thickj^!A.

又因为C∈K^b(P_C),j_!存在右伴随j^!,根据引理3,j^!C∈K^b(P_A),因此Cj^!j^!C∈j^!(K^b(P_A)).利用thickA=K^b(P_A)可以证明j^!(K^b(P_A))thickj^!A,所以C∈thickj^!A,j^!X⊥C.

由C满足广义AR猜想,j^!X⊥j^!X,j^!X⊥C,知j^!X∈K^b(P_C).由引理3,j_!j^!X∈K^b(P_A).又由于gl.dimB<∞,i^*X∈D^b(B)K^b(P_B),从而i_*i^*X∈K^b(P_A).故三角式(3)中第1,3项均落在K^b(P_A)中,因此X∈K^b(P_A).

推论1 设A,B是有限维代数.如果A,B导出等价,则D^b(A)满足广义AR猜想当且仅当D^b(B)满足广义AR猜想.

证明 由于A,B导出等价,存在如下两个平凡的recollement

,

和

.

则由引理4(i),知D^b(A)满足广义AR猜想当且仅当D^b(B)满足广义AR猜想.

设B,C均是任意域上的有限维代数,M是C-B-双模,设A=(B 0

M C)是三角矩阵代数.设 e=(0 0

0 e_C)是A的幂等元.如果pd_CM<∞,由文献[8-9],存在recollement

,

其中

i^*=-^L_AB_B,j_!-^L_CeA_A,

i_*=i_!=-^L_B B_A,j^!=j^*=-^L_AAe_C,

i^!=RHom_A(B_A,-),j_*=RHom_C(Ae_C,-).

本文的主要结论是:

定理1 设B,C均是任意域上的有限维代数,M是C-B-双模,设A=(B 0

M C)是三角矩阵代数,pd_CM<∞.则

(i)若D^b(A)满足广义AR猜想,且pdM_B<∞,则D^b(B),D^b(C)也满足广义AR猜想;

(ii)若D^b(C)满足广义AR猜想,且gl.dimB<∞,则D^b(A)也满足广义AR猜想;

(iii)若D^b(B)满足广义AR猜想,且gl.dimC<∞,则D^b(A)也满足广义AR猜想.

证明(i)由引理4,D^b(C)满足广义AR猜想.

下证D^b(B)满足广义AR猜想.设M∈D^b(B)满足M⊥M,M⊥B,则当|i|0时,

Hom_D^b(A)(i_!M,i_!M[i])=

Hom_D^b(B)(M,M[i])=0,

即i_!M⊥i_!M.注意到pdM_B<∞,且由文献[8]定理3.2的证明

i^!A=RHom_A(_BB_A,A)B_BM_B,

知i^!A∈K^b(P_B).因为M⊥B,根据引理1,M⊥K^b(P_B),所以M⊥i^!A.当|i|0时,

Hom_D^b(A)(i_!M,A[i])=

Hom_D^b(B)(M,i^!A[i])=0,

即i_!M⊥A.由A满足广义AR猜想,i_!M⊥i_!M,i_!M⊥A,知i_!M∈K^b(P_A).故由引理3,Mi^*i_!M∈K^b(P_B).

(ii)由引理4,D^b(A)满足广义AR猜想.

(iii)设X∈D^b(A)满足X⊥X,X⊥A.考虑三角

i_!i^!X→X→j_*j^*X→i_!i^!X[1],(4)

用函子Hom_D^b(A)(-,X)作用三角式(4),有正合列

Hom_D^b(A)(X,X[i])→

Hom_D^b(A)(i_!i^!X,X[i])→

Hom_D^b(A)(j_*j^*X,X[i+1]).(5)

因为gl.dimC<∞,则当|i|0时,

Hom_D^b(A)(j_*j^*X,X[i+1])

Hom_D^b(C)(j^*X,j^*X[i+1])

Hom_K^b(PC)(j^*X,j^*X[i+1])=0.

又因为X⊥X,所以当|i|0时,Hom_D^b(A)(X,X[i])=0,进而由式(5),知

Hom_D^b(B)(i^!X,i^!X[i+1])Hom_D^b(A)(i_!i^!X,X[i])=0,

即i^!X⊥i^!X.用函子Hom_D^b(A)(-,A)作用三角(4),利用上述方法同样可证得i^!X⊥i^!A.因为i^!A=RHom_A(_BB_A,A_A)B_BM_B,所以i^!X⊥B.由B 满足广义AR猜想,i^!X⊥i^!X,i^!X⊥B,可知i^!X∈K^b(P_B).由引理3,i_!i^!X∈K^b(P_A).因为作为右C-模,Hom_C(_AAe_C,C)Ae_C,所以

j_*C=RHom_C(_AAe_C,C)Ae_CC,

故j_*C∈K^b(P_A).C作为stalk复形是K^b(P_C)上的silting复形,由引理2,j_*K^b(P_C)K^b(P_A).又由于gl.dimC<∞,j^*X∈D^b(C)K^b(P_C),所以

j_*j^*X∈j_*K^b(P_C)K^b(P_A).

故三角(4)中第1,3项均落在K^b(P_A)中,从而X∈K^b(P_A).

应用到单点扩张代数上,有如下推论.

推论2 设A是域k上的有限维代数,M是右A-模,设A[M]=(A 0

M k)是单点扩张代数.若pdM_A<∞,则D^b(A[M])满足广义AR猜想当且仅当D^b(A)满足广义AR猜想.