如果一个循环矩阵是非奇异的,那么它的逆矩阵也同样是循环矩阵.由定义 2 可知,循环矩阵不仅有阶数为 2 的左右逆张量,还拥有阶数更高的左右逆张量.它们的结构如何?是否也是循环张量?接下来本文中会通过理论证明和实验数据来详细说明.

定理1(循环矩阵的右逆张量)设A∈C_2,n 是非奇异的,那么存在唯一的循环张量B∈T_m,n,使得AB=I∈T_m,n.

证明 存在唯一性:

通过张量乘积的性质,可得:

AB=I,

A^-1AB=A^-1I,

IB=A^-1I,

B=A^-1I.(5)

设A^-1=(a_ij),由式(1),可以计算出B中的元素:

B_ii1i2…im-1=∑ⁿ_j=1a_iji_ji1i2…im-1=

{a_il, i₁=i₂…=i_m-1=l∈[n],

0, 其他.(6)

循环结构:

P^TBP=P^TA^-1IP=

(P^TA^-1P)(P^TIP)=

A^-1I=B.(7)

这里矩阵 P 的定义为式(3).

从式(5)可见右逆张量中所有的行张量都是对角的.

例1 设A∈C_2,3,它的根张量是(1,2,3).求张量B∈T_3,3,使得

AB=I∈T_3,3.

求解:

A=(1 2 3

3 1 2

2 3 1)

A^-1=(-5/18 7/18 1/18

1/18 -5/18 7/18

7/18 1/18 -5/18).

根据式(5),容易计算出张量 B:

B₁=(-5/18 0 0

0 7/18 0

0 0 1/18),

B₂=(1/18 0 0

0 -5/18 0

0 0 7/18),

B₃=(7/18 0 0

0 1/18 0

0 0 -5/18).(8)

容易验证,张量 B 是循环张量,且每个行张量都是对角的.

定理2(循环矩阵的左逆张量)令A∈C_2,n 是非奇异的,那么存在唯一的循环张量 B∈T_m,n,使得BA=I∈T_m,n.

证明 存在唯一性:

通过张量乘积的性质,可得:

BA=I,

BAA^-1=IA^-1,

BI=IA^-1,

B=IA^-1.(9)

循环结构:

P^TBP=P^TIA^-1P=

(P^TIP)(P^TA^-1P)=

IA^-1=B.(10)

这里矩阵P定义为式(3).

因此,只需要得到循环张量B的根张量B₁ 即可,设A^-1=(a_ij).

B₁=A^-TI₁A^-1=a₁…a₁_}_m-1,(11)

这里

I₁=(δ_i1i2…im-1)∈T_m-1,n

满足

δ_i1i2…im-1={1, i₁=i₂…=i_m-1=1,

0, 其他.

而

a₁=(a₁₁,a₁₂,…,a_1n)^T.

由上面的证明可见,左逆张量所有的行张量都是秩 1 的.

例2 设A∈C_2,3,它的根张量是(1,2,3),求张量 B∈T_3,3,使得BA=I∈T_3,3.

求解:

B₁=a₁a₁=(-5/18,7/18,1/18)^T

(-5/18,7/18,1/18)^T=

(25/324 -35/324 -5/324

-35/324 49/324 7/324

-5/324 7/324 1/324).(12)

同样可以得到:

B₂=(1/324 -5/324 7/324

-5/324 25/324 -35/324

7/324 -35/324 49/324),

B₃=(49/324 7/324 -35/324

7/324 1/324 -5/324

-35/324 -5/324 25/324).(13)

容易验证,张量B是循环张量,且每个行张量都是秩1的.

对于循环矩阵的左右逆张量,已经清楚知道了其存在性、唯一性以及结构特点.现在,考虑这些结论是否适用于阶数大于等于 3 的循环张量.本文中首先讨论下循环张量的左右逆矩阵.

定理3(循环张量的右逆矩阵)令A∈C_m,n,当它的根张量 A₁=a…a_}_m-1 且以a为根向量的循环矩阵非奇异时,存在 B∈T_2,n,使得 AB=I∈T_m,n.

证明 因为AB=I,可得到

b^T_j A_lb_k={1, j=l=k∈[n],

0, 其他.(14)

这里b_j 是矩阵B的第 j 列向量,A_l 是张量 A 的第 l 个行张量.

进而,令

C=(A₁b₁,Ab₂…,A_nb_n)∈T_2,n,

可得到

B^TC=I.(15)

这里 I 是维数 n 的单位矩阵.

注意矩阵 B 是非奇异的.由张量乘积的性质可得 A=IB^-1.那么

A₁=B^-TI₁B^-1=b₁…b₁_}_m-1,

这里b^T₁是B^-1的第一行向量.

满足上述条件时,右逆矩阵虽然存在,但不一定是唯一的,也不一定有循环结构.

例3 设A∈C_3,3,它的根张量是A₁=(1,2,3)^T(1,2,3)^T∈T_2,3.求矩阵 B∈T_2,3,使得 AB=I∈T_3,3.

求解:因为根张量

A₁=(1,2,3)^T(1,2,3)^T∈T_2,3,

所以

b₁=(1,2,3)^T或(-1,-2,-3)^T.

同理,b₂,b₃ 也都有 2 种情况.综合在一起,矩阵 B 总共有 8 种情况,可以求得 2 种:

B=(-5/18 7/18 1/18

1/18 -5/18 7/18

7/18 1/18 -5/18),

B'=(5/18 -7/18 -1/18

-1/18 5/18 -7/18

-7/18 -1/18 5/18),(16)

是右逆循环矩阵.而其他的6种:

B⁽¹⁾=(5/18 7/18 1/18

-1/18 -5/18 7/18

-7/18 1/18 -5/18),

B⁽²⁾=(-5/18 -7/18 -1/18

1/18 5/18 -7/18

7/18 -1/18 5/18),

B⁽³⁾=(-5/18 -7/18 1/18

1/18 5/18 7/18

7/18 -1/18 -5/18),

B⁽⁴⁾=(5/18 7/18 -1/18

-1/18 -5/18 -7/18

-7/18 1/18 5/18),

B⁽⁵⁾=(-5/18 7/18 -1/18

1/18 -5/18 -7/18

7/18 1/18 5/18),

B⁽⁶⁾=(5/18 -7/18 1/18

-1/18 5/18 7/18

-7/18 -1/18 -5/18),(17)

仅是右逆矩阵,并不具有循环结构.

定理4 (循环张量的左逆矩阵)令A∈C_m,n,当它的根张量 A₁ 是对角的,并且这些对角元素组成的循环矩阵是非奇异时,存在唯一循环矩阵 B∈T_2,n,使得BA=I∈T_m,n.

证明 存在唯一性:

由定义1可以得到

(BA)_ii1i2…im-1=∑ⁿ_jb_ija_ji1i2…im-1=

{1,i=i₁=i₂…=i_m-1=l∈[n];

0,其他.(18)

令

a_l=(a_1l…l,a_2l…l,…,a_nl…l)^T,

可以得到方程

Ba_l=e_l,(19)

这里 e_l=(0,…,1,…,0)^T 是只有第 l 个元素为 1,其他元素均为 0 的单位向量.

进一步,令A=(a₁,a₂,…,a_n),得到方程

BA=I,(20)

这里 I是维数 n 的单位矩阵.不难发现矩阵B是非奇异的.由张量乘积的性质可得A=B^-1I.

循环结构:

A=B^-1I,

P^TAP=P^TB^-1IP,

A=(P^TB^-1P)(P^TIP),

A=(P^TB^-1P)I,

B^-1I=P^TB^-1PI,

(B^-1-P^TB^-1P)I=0,

B^-1=P^TB^-1P.(21)

最后一步的等价关系由文献[4]中的引理 2.1 保证.

例4 设A∈C_3,3,它的根张量是A₁=(1 0 0

0 2 0

0 0 3).求矩阵B∈T_2,3,使得 BA=I∈T_3,3.

求解:对角元素为(1,2,3),可得

A=(1 3 2

2 1 3

3 2 1).

根据BA=I,求得

B=(-5/18 1/18 7/18

7/18 -5/18 1/18

1/18 7/18 -5/18).

容易验证矩阵 B是左逆循环矩阵.

现在,讨论下高阶循环张量的左右逆张量,研究它们的存在性、唯一性和结构性.

定理5 (循环张量的右逆张量)令A∈C_m,n,当它的根张量 A₁=a…a_}_m-1,且以a为根向量的循环矩阵非奇异时,存在张量B∈T_k,n,使得AB=I∈T_{(m-1)(k-1)+1,n},且其行张量都是对角的.

证明 根据定理3,存在非奇异矩阵B,使得

AB=I.(22)

同样,非奇异矩阵 B^-1 存在右逆张量 B∈T_k,n,使得 B^-1B=I,且其行张量都是对角的.

因此

ABB^-1B=AB=I.(23)

根据定理3,循环张量的右逆矩阵不唯一且不一定具有循环结构,因此循环张量的右逆张量同样不唯一且不一定具有循环结构.

定理6 (循环张量的左逆张量)令A∈C_m,n,当它的根张量A₁ 是对角的,并且这些对角元素组成的循环矩阵是非奇异时,存在唯一循环张量B∈T_k,n,使得 BA=I∈T_{(k-1)(m-1)+1,n}

证明 根据定理4,存在唯一非奇异循环矩阵B,使得

BA=I.(24)

同样,非奇异循环矩阵 B^-1 存在唯一左逆循环张量B∈T_k,n,使得BB^-1=I,且其行张量都是秩 1 的.

因此

BB^-1BA=BA=I.(25)