度累积分布 P_cum(k)是网络的一个很重要的统计参数,它的定义是

P_cum(k)=1/(n_v(t))∑_k'≥k|V(k',t)|,(4)

这里 V(k',t)是 N(t)中度数为 k' 的节点之集.已知 t 时刻,N(t)中与 i 节点 关联的边数目称为节点 i 的度,记为 k_i(t),具有度数 k_i(t)的节点的个数记为 n_ki(t),即 n_k'(t)=|V(k',t)|.为叙述简便,将节点 i 称为 i 号点,即 0 号点为 N(0)的顶点; 1 号点为N(1)\N(0)的点; 2 号点为 N(2)\N(1)的点,依次类推.就初始网络的节点而言,k₀(t)=k₀(t-1)+2^t-1 且k₀(0)=2.对 i(i≥1)号点,k_i(t)=2k_i(t-1),且k_i(i)=3.因此,不难得出阿波罗网络 N(t)的度数与对应节点个数的度谱:N(t)中度数为 k_i(t)=3,6,12,…,3·2^t-1,2^t+1 的节点个数 n_ki(t)=3^t-1,3^t-2,3^t-3,…,1,3.注意到,N(t)的度谱属于离散型,在 τ 时刻以后,进入阿波罗网络 N(t)的节点度数均小于 k,τ 时刻之前进入的顶点的度都大于 k,则有

P_cum(k)=1/(n_v(t))∑_k'≥k|V(k',t)|=

1/(n_v(t))[3+∑^τ_i=11/2(3ⁱ+5)]=

(3+1/2(3¹+5)+1/2(3²+5)+…+

1/2(3^τ+5))·(1/2(3^t+5))^-1=

(3^τ+1+10τ+9)/(2(3^t+5))∝3/23^τ-t.(5)

将 τ=t-(lnk-ln3)/(ln2)代入上式,得 P_cum(k)∝k^1-r_ub>c,其中 r_c=1+(ln3)/(ln2)≈2.586.从而证明 N(t)服从幂律分布.

另一种关于累积分布的统计方法,叫做边累积分布^[10],定义为:P_ecum(k)=1/(n_e(t))∑^τ_i=0n_e(i,0<τ<1).根据阿波罗网络的度谱,得到

P_ecum(k)=1/(n_e(t))∑^τ_i=0n_e(i)=

(n_e(0)+n_e(1)+…+n_e(τ-1)+n_e(τ))/(n_e(t))=

(3/2(3⁰+1)+3/2(3¹+1)+…+

3/2(3^τ+1))·3/2(3^t+1)=(3^τ+1+2τ+1)/(2(3^t+1)).(6)

对任意的 ε>0,有

|P_cum(k)-P_ecum(k)|=

|(3^τ+1+10τ+9)/(2(3^t+5))-(3^τ+1+2τ+1)/(2(3^t+1))|=

(|3^t(8τ+8)-12·3^τ+4|)/(2(3^t+5)(3^t+1))<

(3^t(8τ+8)+12·3^τ+4)/(2(3^t+5)(3^t+1))<

(3^t(8τ+24))/(2(3^t+5)(3^t+1))<(16τ3^t)/((3^t+5)(3^t+1))<

(16t)/(3^t)<(16)/t,(7)

当t充分大时,可得(16)/t<ε,从而证明了 P_ecum(k)～P_cum(k).

受度累积分布的启发,定义一种新的统计指标:D-度累积分布.对一个固定的整数d≥k,有P^D_cum(k)=1/(n_v(d,t))∑^τ_i=0n_v(d,i),其中 n_v(d,i)是网络 N(i)中度为 d 的节点的个数,当 N(i)中没有度为 d 的节点时规定 n_v(d,i)=0.参照阿波罗网络的度谱,为了便于计算,记 d=3·2^m(0≤m<t),则度数 d 对应的节点个数为 n_v(d,t)=3^t-(m+1).可计算出

P^D_cum(k)=1/(n_v(d,t))∑^τ_i=0n_v(d,i)=

(3⁰+3¹+3²+…+3^τ-(m+1))/(3^t-(m+1))=

(3^τ-m-1)/(2·3^t-m-1)∝1/2·3^τ-t.(8)

当 t>(11·3^m)/ε(ε>0)时,有

|P_cum(k)-P^D_cum(k)|=

|(3^τ+1+10τ+9)/(2(3^t+5))-(3^τ-m-1)/(2·3^t-m-1)|<

(10τ·3^t+3^t+15·3^t+3·3^t+15·3^t)/(2·3^t-m·3^t)<

(22τ·3^m)/(3^t)<(11·3^m)/t<ε,(9)

即P^D_cum(k)～P_cum(k).

此外,本文中还定义了一种新的统计指标:dd-度累积分布.对一个固定的整数d>k,有P^dd_cum(k)=1/(n_v(d,t))∑^τ_i=0d·n_v(d,i)(0<τ<t),其中n_v(d,i)是N(i)中度为d的节点的个数,当N(i)中没有度为d的节点时规定n_v(d,i)=0.参照阿波罗网络的度谱,类似于上述记号有d=3·2^m(0≤m≤t),且度数d对应的节点个数为n_v(d,i)=3^t-(m+1).可计算出

P^dd_cum(k)=1/(n_v(t))∑^τ_i=0d·n_v(d,i)=

(3·2^m)/(3^t-(m+1))(3⁰+3¹+3²+…+3^τ-(m+1))=

2^m-1·3^τ-t+2.(10)

对任意的ε>0,有

|P_cum(k)-P^dd_cum(k)|=

|(3^τ+1+10τ+9)/(2(3^t+5))-2^m-1·3^τ-t+2|=

|(3^τ+1+10τ+9)/(2(3^t+5))-(2^m·3^τ+2)/(2·3^t)|<

((10τ+9)·3^t+5·2^m·3^t)/(2·3^t(3^t+5))<

(19+5·2^m)/t<ε.(11)

当t>(19+5·2^m)/ε时,可以得到|P_cum(k)-P^dd_cum(k)|<ε.从而可得P^dd_cum(k)～P_cum(k).

一般地,从网络N(t)的顶点集中删除一个子集能导致整个网络瘫痪.若有子集 X^*V(N(t)),使得对任意的子集 XV(N(t))总有分支数目 ω(N(t)-X^*)≥ω(N(t)-X)成立,记cor(t)=(|X^*|)/(|V(N(t))|)为网络 N(t)的瓦解度.显然,满足瓦解度cor(t)的子集可能有多个.另外定义 frr(t)=(ω(N(t)-X^*))/(|V(N(t))|)为N(t)的脆弱度.网络脆弱度是一个相对分支数目的概念,即是统计碎块的比率.不难看到,cor(t)的值越大,网络受损程度越厉害; frr(t)的值越小,网络稳定性越好,抵御外界攻击的能力也就越强.阿波罗网络模型 N(t)的瓦解度和脆弱度分别如下:

cor(t)=(|X^*|)/(|V(N(t))|)=(1/2(3^t-1+5))/(1/2(3^t+5))≈1/3,

frr(t)=(ω(N(t)-X^*))/(|V(N(t))|)=(3^t-1)/(1/2(3^t+5))≈2/3.(12)

在阿波罗网络中,破坏 X^* 中的全部节点,才能使网络遭破坏后的分支最多,瓦解度最大.

类似于顶点的瓦解度和脆弱度的叙述,阿波罗网络模型也有边瓦解度和边脆弱度.对任意边子集 YE(N(t)),若存在边子集 Y^*E(N(t)),使得总有 ω(E(t)-Y^*)≥ω(E(t)-Y)成立,记 cor_E(t)=(|Y^*|)/(|E(N(t))|)为网络 N(t)的边瓦解度,frr_E(t)=(ω(N(t)-Y^*))/(|E(N(t))|)为 N(t)的边脆弱度^[10].阿波罗网络的边瓦解度和边脆弱度分别为:

cor_E(t)=(|Y^*|)/(|E(N(t))|)=(3/2(3^t+1))/(3/2(3^t+1))=1,

frr_E(t)=(ω(N(t)-Y^*))/(|E(N(t))|)=(1/2(3^t+5))/(3/2(3^t+1))≈1/3.(13)

不难看到,在阿波罗网络中,只有破坏网络中的所有边才能使得整个网络的瓦解度达到最大.

本研究认为,一个顶点 u 的邻点与外界的关联多少显示这个顶点 u 的重要性.因此,本研究考察邻点度平均.文献 [10] 中定义一个节点 x 的邻点度平均为 t 时刻 x 的邻点的度之和与 x 的度的比值,记为 d_ave(x),即有 d_ave(x)=1/(k(x,t))∑_y∈nei(x)k(y,t),其中 k(x,t)表示 N(t)中节点 x 的度,nei(x)是指N(t)中节点 x 的所有邻点构成的集合.节点 x 的吸引数定义为

att(x)=(k(x,t)-1)/(∑_y∈nei(x)k(y,t)).(14)

对于阿波罗网络的不同顶点进行计算如下:对初始 t=0 时的顶点 v₀,有

d_ave(v₀)=(∑_y∈nei(v0)k(y,t))/(k(v₀,t))=

(2(2^t+1)+3·2^t-1+…+2^t-1·

3·2^t-t)·2^t+1=(2(2^t+1)+3t·2^t-1)/(2^t+1),(15)

att(v₀)=(k(v₀,t)-1)/(∑_y∈nei(v0)k(y,t))=

(2^t)/(2(2^t+1)+3t·2^t-1).(16)

对 N(i)中标号为i 的某个顶点 v_i(i≥1),则有

d_ave(v_i)=1/(k(v_i,t))∑_y∈nei(vi)k(y,t)=

(3·(3·2^t-(i+1))+6(3·2^t-(i+2))+…+

3·2^t-(i+1)(3·2^t-t)+S_u,v,i-1)·(3·2^t-i)^-1=

(9(t-i)·2^t-i-1+S_u,v,i-1)/(3·2^t-i),(17)

以及

att(v_i)=(k(v_i,t)-1)/(∑_y∈nei(v1)k(y,t))=

(3·2^t-i-1)/(9(t-i)·2^t-i-1+S_u,v,i-1),(18)

其中 S_u,v,i-1(u,v,i-1 为节点标号)是指 i 号点的邻点中在 i 号点之前进入网络的3个节点的度之和.

S_u,v,i-1=

{2^t+1(3·2^-i+1)+2, u=0,v=0;

2^t[3(2^-v+2^1-i)+1]+1, u=0,1≤v≤i-2;

3·2^t(2^-u+2^-v+2^1-i), 1≤u,v≤i-2,u≠v.(19)