基金项目:国家自然科学基金(11361062,61662079,11061035); 新疆维吾尔自治区自然科学基金(2013211A021); 新疆维吾尔自治区青年科技创新人才培养工程项目(qn2015yx010); 新疆高校科研重点项目(XJEDU2013I04).
通信作者:bh1218@163.com
(1.新疆师范大学数学科学学院,新疆 乌鲁木齐 830054; 2.新疆大学数学科学学院,新疆 乌鲁木齐 830046)
(1.School of Mathematical Sciences,Xinjiang Normal University,Urumqi 830054,China; 2.College of Mathematics and System Sciences,Xinjiang University,Urumqi 830046,China)
eigenvalue; three dimensional rectangular tensor; irreducible; Perron-Frobenius theorem
DOI: 10.6043/j.issn.0438-0479.201603001
Perron-Frobenius 定理是非负矩阵的基本结果.特别地,非负张量的 Perron-Frobenius 定理与测量链接对象的高阶连通性和超图有关.在长方形张量的基础上定义一个广义长方形张量,并给出了非负广义长方形张量的 Perron-Frobenius定理的一些新的结果.
The Perron-Frobenius theorem is a fundamental result for nonnegative matrices.In particular,the Perron-Frobenius theorem for nonnegative tensors is related to measuring higher order connectivity in linked objects and hypergraphs.In this paper,we define a generalized rectangular tensor which is based on the definition of rectangular tensors,and give some new results on the Perron-Frobenius theorem for nonnegative generalized rectangular tensor.
Perron-Frobenius 定理描述了一个非负实方矩阵 A 的主要特征值的特征向量的性质.
假设 m和 n都是正整数,且 m,n≥2,则称B=(bi1…im),这里 bi1…im∈R,对于 ik=1,2,…,n,k=1,2,…,m,B是一个实 m 阶 n维方张量.当 m=2 时,B 是一个简单的实 n×n矩阵.
QI[1]和LIM[2]介绍了方张量的特征值,并且给出了非负方张量的特征值的 Perron-Frobenius 定理的一些性质.此外,方张量的特征值有广泛的实际应用; 如医疗磁共振成像[3]、高阶马尔科夫链[4]、自动控制中偶阶多变量形式的正定性[5]、数据分析的秩一优化[6].
最近,某一类长方形张量吸引了研究人员的注意.它们出现在固体力学的强椭圆条件问题[7-10] 和量子力学的扰动问题[11-12].假设 p,q,m,n 都是正整数,并且 m,n≥2,则称A=(ai1…ip,j1…jq),这里 ai1…ip,j1…jq∈R,对于 ik=1,2,…,m,k=1,2,…,p,jk=1,2,…,n,k=1,2,…,q,是一个实(p,q)阶(m×n)维长方形张量.当 p=q=1 时,A 是一个简单的实 m×n 长方形矩阵.
Perron-Frobenius 定理是非负矩阵的一个基本结果.它不仅在许多数学分支:马尔科夫链、图论、对策论和数值分析上有很多应用,也在科学与技术的很多领域:经济学、运筹学和最近的互联网网络排名上有很多应用.它的无限维推广被称为正线性紧算子的 Krein Rutman 定理,也被广泛应用于偏微分方程、不动点定理和泛函分析.在后期许多线性代数的研究中[1,2,13],张量的特征值问题已经受到特别关注.特别地,非负张量的 Perron-Frobenius 定理与测量链接对象的高阶连通性和超图有关.
CHANG等[14]和YANG等[15]给出了有关非负长方形张量的Derron-Frobenius定理的一些新结果.本研究在长方形张量的基础上定义一个广义长方形张量,并且给出有关非负广义长方形张量的Perron-Frobenius定理的一些新结果.
在这一节,给出一些用于主要结果证明的定义和概念.
假设 p,q,r,m,n,l是正整数,并且 m,n,l≥2,则称ai1…ip,j1…jq,k1…kr∈R,其中 ih=1,2,…,m,h=1,2,…,p,jh=1,2,…,n,h=1,2,…,q,kh=1,2,…,l,h=1,2,…,r,是一个实(p,q,r)阶(m×n×l)维 广义长方形张量.
令
f(x,y,z)≡Axpyqzr≡∑mi1,…,ip=1 ∑nj1,…,jp=1 ∑lk1,…,kr=1
ai1…ipj1…jqk1…krxi1…xipyj1…yjqzk1…zkr,
当p=q=r=2时,A是一个(2,2,2)阶长方形张量.如果 a122112=1,其余的 aijklst=0,那么 f(x,y,z)=x1x2y2y1z1z2.
对于任意的向量 x 和任意的实数 α,定义x[α]=[xα1,xα2,…,xαn]T.
令Axp-1yqzr 是属于 Rm 的一个向量,使得
(Axp-1yqzr)i=∑mi2,…,ip=1 ∑nj1,…,jp=1 ∑lk1,…,kr=1
aii2…ipj1…jqk1…krxi2…xipyj1…yjqzk1…zkr,
i=1,2,…,m.
同样地,Axpyq-1zr 是属于 Rn 的一个向量,使得
(Axpyq-1zr)j=∑mi1,…,ip=1 ∑nj2,…,jp=1 ∑lk1,…,kr=1
ai1…ipjj2…jqk1…krxi1…xipyj2…yjqzk1…zkr,
j=1,2,…,n.
Axpyqzr-1是属于Rl的一个向量,使得
(Axpyqzr-1)k=∑mi1,…,ip=1 ∑nj1,…,jp=1 ∑lk2,…,kr=1
ai1…ipj1…jqkk2…krxi1…xipyj1…yjqzk2…zkr,
k=1,2,…,l.
本文中定义M=p+q+r,N=m+n+l.对于一个向量x=(x1,x2,…,xm)T∈Cm.一个整数 M,定义 x[M-1]=[xM-11,xM-12,…,xM-1m]T.同样地,对于y[M-1],y∈Cn; z[M-1],z∈Cl也相同.考虑
{Axp-1yqzr=λx[M-1],
Axpyq-1zr=λy[M-1],
Axpyqzr-1=λz[M-1].(1)
如果 λ∈C,x∈Cm\0,y∈Cn\0,y∈Cl\0 是式(1)的解,那么λ 是A的一个奇异值,x,y,z是A关于奇异值 λ 的特征向量.如果 λ∈R,x∈Rm\0,y∈Rn\0,z∈Rl\0 是式(1)的解,则λ是A 的H奇异值,x,y,z 是关于A 的 H 奇异值 λ 的H特征向量.如果一个奇异值不是H奇异值,则称为A的N奇异值.当p=q=1,r=0 时,那么这就是一般的长方形矩阵奇异值的定义.因此,这个定义把长方形矩阵的奇异值的传统概念推广到高阶广义长方形张量.
在这一节,本研究把非负长方形张量奇异值的 Perron-Frobenius 定理推广到广义长方形张量.首先给出不可约广义长方形张量的定义.
记 Pk={x∈Rk:xi≥0,i=1,2,…,k},int(Pk)={x∈Rk:xi>0,i=1,2,…,k}.一个向量x∈Rk,被称为非负的,如果x∈Pk; 被称为强正的,如果 x∈intPk.规定Rk 的零向量为θ.
让A=(aii…ipj1…jqk1…kr)是一个(p,q,r)阶(m×n×l)维非负长方形张量,这里 p,q,r≥1.定义 {ei}m1,{fj}n1 和 {gk}l1 分别是Rm,Rn 和 Rl 的基,且epi=ei…ei_}p,fqj=fj…fj_}q 和 grk=gk…gk_}r,这里是向量的张量积符号.
对于任意的 j=1,2,…,n,k=1,2,…,l,定义 A(·,fqj,grk)=(ai1,…,ip,j,…,j,k,…,k)是一个 p 阶 m维方张量.
对于任意的 i=1,2,…,m,k=1,2,…,l,定义 A(epi,·,grk)=(ai,…,i,j1,…,jq,k,…,k)是一个 q 阶n维方张量.
对于任意的 i=1,2,…,m,j=1,2,…,n,定义 A(epi,fqj,·)=(ai,…,i,j,…,j,k1,…,kr)是一个 r 阶 l维方张量.
定义1 在文献 [16]中提出,一个非负长方形张量 A 被称为不可约的,如果所有的方张量 A(·,fqj,grk),j=1,2,…,n,k=1,2,…,l,A(epi,·,grk),i=1,2,…,m,k=1,2,…,l 和A(epi,fqj,·),i=1,2,…,m,j=1,2,…,n 都是不可约的.
引理1 如果A是不可约的,那么所有的张量A(·,fqj,grk),j=1,2,…,n,k=1,2,…,l,A(epi,·,grk),i=1,2,…,m,k=1,2,…,l 和A(epi,fqj,·),i=1,2,…,m,j=1,2,…,n,没有特征值 0.
证明 假设结论不成立.那么,存在 j0,k0 使得A(·,fqj,grk)有特征值0 或存在 i0,k0 使得 A(epi,·,grk)有特征值0或存在 i0,j0 使得A(epi,fqj,·)有特征值0.不妨设A(·,fqj,grk)有特征值0,即,x0≠θ,使得 A(xp-10,fqj,grk)=θ.如果(x0)i>0,i,则A(·,fqj,grk)=0,那么A(·,fqj,grk)可约,矛盾.另一方面,存在一个非空指数集 I 和 δ>0,使得(x0)i=0,i∈I,且(x0)i≥δ,iI,有
δp-1∑i2,…,ipIaii2…ipj0…j0k0…k0≤
∑1≤i2,…,ip≤maii2…ipj0…j0k0…k0(x0)i2…(x0)ip=
A(xp-10,fqj,grk)=0,
这表明
ai1i2…ipj0…j0k0…k0=0,i1∈I,i2,…,ipI,
则A(·,fqj,grk)是可约的,矛盾.
同理可以证明 A(epi,·,grk)和A(epi,fqj,·)没有特征值 0.
引理2 如果A是不可约的,那么对于任意的(x,y,z)∈(Pm\{θ})×(Pn\{θ})×(Pl\{θ}),Axp-1yqzr≠θ,Axpyq-1zr≠θ 和Axpyqzr-1≠θ.
证明 假设 Axp-1yqzr=θ,即(Axp-1yqzr)i=0,i.因为 y,z≠θ,j0,k0 和 δ>0 使得y≥δfj0,z≥δhk0,有
0=(Axp-1yqzr)i≥
δq+r(Axp-1,fqj0,grk0)i≥0,i,
即
A(xp-1,fqj0,grk0)=θ.
这就是说x是 A(·,fqj0,grk0)的一个关于特征值 0 的特征向量.根据引理 2,这是一个矛盾.
同理可以证明 Axpyq-1zr≠θ 和 Axpyqzr-1≠θ.
引理3 让A非负且不可约,且(λ,(x,y,z))∈R+×int(Pm)×int(Pn)×int(Pl)是式(1)的一个解.如果(μ,(u,v,w))∈R+×((Pm\{θ})×(Pn\{θ})×(Pl\{θ}))满足
(i)Aup-1vqwr≥(或≤)μu[M-1],
(ii)Aupvq-1wr≥(或≤)μv[M-1],
(iii)Aupvqwr-1≥(或≤)μw[M-1],
那么 μ≤(或≥)λ.
证明 定义t0=max{s≥0|x-su∈Pm,y-sv∈Pn,z-sw∈Pl}.因为(x,y,z)∈int(Pm)×int(Pn)×int(Pl),t0>0.所以有
{x-tu≥0,
y-tv≥0,
z-tw≥0,(2)
当且仅当t∈[0,t0].因此
{λx[M-1]=Axp-1yqzr≥tM-10 Aup-1vqwr≥
tM-10 μu[M-1],
λy[M-1]=Axpyq-1zr≥tM-10 Aupvq-1wr≥
tM-10 μv[M-1],
λz[M-1]=Axpyqzr-1≥tM-10 Aupvqwr-1≥
tM-10 μw[M-1].(3)
即
{x≥t0(μ/λ)1/(M-1)u,
y≥t0(μ/λ)1/(M-1)v,
z≥t0(μ/λ)1/(M-1)w.(4)
这表明 μ≤λ.
定理1 假设非负张量 A 是不可约的,则存在式(1)的一个解(λ0,(x0,y0,z0)),满足 λ0>0 和(x0,y0,z0)∈int(Pm)×int(Pn)×int(Pl).
如果λ 是强正特征向量的一个奇异值,则 λ=λ0.这个强正特征向量在重数意义下是唯一的.
证明 定义Dk={z=(z1,…,zk)∈Pk|∑ki=1zi=1}.由引理 3,F 在 Dm×Dn×Dl 上到自身的映射被定义为:
F(ξ,η,σ)=〖JB<5(〗((Aξp-1ηqσr)1/(M-1)i)/(∑mi=1(Aξp-1ηqσr)1/(M-1)i),
((Aξpηq-1σr)1/(M-1)j)/(∑nj=1(Aξp-1ηqσr)1/(M-1)
根据不动点定理,存在(ξ0,η0,σ0)∈Dm×Dn×Dl,使得
{Aξp-10ηq0 σr0=μ0ξ[M-1]0,
Aξp0ηq-10 σr0=ν0η[M-1]0,
Aξp0ηq0 σr-10=ω0σ[M-1]0.(6)
这里
{μ0=(∑mi=1(Aξp-10ηq0σr0)1/(M-1)i)M-1,
ν0=(∑nj=1(Aξp0ηq-10σr0)1/(M-1)j)M-1,
ω0=(∑lk=1(Aξp0ηq0σr-10)1/(M-1)i)M-1.(7)
定义t=((ν0)/(μ0))1/M,s=((ω0)/(μ0))1/M,x0=ξ0,y0=tη0,z0=sσ0 和 λ0=(μp0 νq0 ωr0)1/M,则(λ0,(x0,y0,z0))是式(1)的一个解.
现在需要证明:(x0,y0,z0)∈int(Pm)×int(Pn)×int(Pl).反证法,假设这个结论不成立,则需要证明 存在一个非空真指标子集 I{1,2,…,m},或者一个非空真指标子集 J{1,2,…,n},或者一个非空真指标子集 K{1,2,…,l},使得(x0)i=0,i∈I,(x0)i≥δ>0,iI,或者(y0)j=0,j∈J,(y0)j≥δ>0,jJ,或者(z0)k=0,k∈K,(z0)k≥δ>0,kK.
因为 A(·,fqj0,grk0),j∈J,k∈K 是不可约的,如果满足上述条件的非空真子集 I 是存在的,i∈I,j∈J,k∈K有
0=(Axp-10 yq0 zr0)i=
∑1≤i2,…,ip≤m,1≤j1,…,jq≤n,1≤k1,…,kr≤l
aii2…ipj1…jqk1…kr(x0)i2…(x0)ip(y0)j1…
y(0)jq(z0)k1…(z0)kr≥
δq+r∑1≤i2,…,ip≤m,1≤j≤n,1≤k≤l
aii2…ipj…jk…k(x0)i2…(x0)ip≥
δM-1∑i2,…,ipIaii2…ipj…jk…k.
这与 A(·,fqj0,grk0),j∈J,k∈K 的不可约性矛盾.因此这样的非空真指标子集 I 是不存在的,同理可以证明这样的非空真指标子集 J 和 K 都是不存在的.所以(x0,y0,z0)∈int(Pm)×int(Pn)×int(Pl).
强正特征向量的正奇异值的唯一性可以直接从引理 4 得到.用文献[14]中同样的方法可以证明强正特征向量在重数意义下是唯一的.
下文把文献[14]中的非负张量唯一正特征值的强正特征向量的最大最小刻画推广到非负广义张量唯一正奇异值的强正特征向量.
定理2 假设A 是一个(p,q,r)阶(m×n×l)维的非负不可约长方形张量,则
min(x,y,z)∈(Pm\{θ})×(Pn\{θ})×(Pl\{θ})maxi,j,k(((Axp-1yqzr)i)/(xM-1i ),
((Axpyq-1zr)j)/(yM-1j ),((Axpyqzr-1)k)/(zM-1k ))=λ0=
max(x,y,z)∈(Pm\{θ})×(Pn\{θ})×(Pl\{θ})
mini,j,k(((Axp-1yqzr)i)/(xM-1i ),((Axpyq-1zr)j)/(yM-1j ),
((Axpyqzr-1)k)/(zM-1k )),
这里 λ0 是唯一的强正特征向量的正奇异值.
证明 在 (Pm\{θ})×(Pn\{θ})×(Pl\{θ})上,定义一个函数:
μ*(x,y,z)=mini,j,k(((Axp-1yqzr)i)/(xM-1i ),
((Axpyq-1zr)j)/(yM-1j ),((Axpyqzr-1)k)/(zM-1k )).
因为它是一个正的 0-齐次函数,能够限制在(Dm)×(Dn)×(Dl)上.令
r*:=μ*(x*,y*,z*)=
maxx∈Dm,y∈Dn,z∈Dlμ*(x,y,z)=
max(x,y,z)∈(Pm\{θ})×(Pn\{θ})×(Pl\{θ})μ*(x,y,z),
(λ0,(x0,y0,z0))∈R+×int(Pm)×int(Pn)×int(Pl)是式(1)的一个解.一方面有
λ0=μ*(x0,y0,z0)≤μ*(x*,y*,z*),
即λ0≤r*.
另一方面,由 μ*(x,y,z)的定义可得
r*=μ*(x*,y*,z*)=mini,j,k(((Axp-1* yq* zr*)i)/((x*)M1i ),
((Axp* yq-1* zr*)j)/((y*)M-1j ),((Axp* yq* zr-1*)k)/((z*)M-1k )).
即
{Axp-1* yq* zr*≥r*x[M-1]*,
Axp* yq-1* zr*≥r*y[M-1]*,
Axp* yq* zr-1*≥r*z[M-1]*.(8)
根据引理 4,有 r*≤λ0,因此λ0=r*.
同理可以证明另一个等式.
定理3 假设A 是一个非负不可约长方形张量,λ0 是强正特征向量的正奇异值,则对于 A 的所有奇异值λ,有|λ|≤λ0.
证明 令(x,y,z)∈((Cm\{θ})×(Cn\{θ})×(Cl\{θ}))是式(1)的一个解.对于任意的 λ∈C.本文中需要证明 |λ|≤λ0.让 x'i=|xi|,i,y'j=|yj|,j,z'k=|zk|,k,集合x'=(x'1,…,x'm),y'=(y'1,…,y'n),z'=(z'1,…,z'l).显然,(x',y',z')∈((Pm\{θ})×(Pn\{θ})×(Pl\{θ})).
因为
|(Axp-1yqzr)i|=|∑mi2,…,ip=1 ∑nj1,…,jq=1 ∑lk1,…,kr=1
aii2…ipj1…jqk1…krxi2…xipyj1…yjqzk1…zkr|≤
∑mi2,…,ip=1 ∑nj1,…,jq=1 ∑lk1,…,kr=1aii2…ipj1…jqk1…krx'i2…
x'ipy'j1…y'jqz'k1…z'kr=(A(x')p-1(y')q(z')r)i,
|(Axpyq-1zr)j|=|∑mi1,…,ip=1 ∑nj2,…,jq=1 ∑lk1,…,kr=1
ai1…ipjj2…jqk1…krxi1…xipyj2…yjqzk1…zkr|≤
∑mi1,…,ip=1 ∑nj2,…,jq=1 ∑lk1,…,kr=1ai1…ipjj2…jqk1…krx'i1…
x'ipy'j2…y'jqz'k1…z'kr=(A(x')p(y')q-1(z')r)j,
|(Axpyqzr-1)i|=|∑mi1,…,ip=1 ∑nj1,…,jq=1 ∑lk2,…,kr=1
ai1…ipj1…jqkk2…krxi1…xipyj1…yjqzk2…zkr|≤
∑mi1,…,ip=1 ∑nj1,…,jq=1 ∑lk2,…,kr=1ai1…ipj1…jqkk2/…krx'i1…
x'ipy'j1…y'jqz'k2…z'kr=(A(x')p(y')q(z')r-1)k,
所以
|λ|(x'i)M-1=|λ||xi|M-1=|(Axp-1yqzr)i|≤
(A(x')p-1(y')q(z')r)i,i,
|λ|(y'j)M-1=|λ||yj|M-1=
|(Axpyq-1zr)j|≤
(A(x')p(y')q-1(z')r)j,j,
|λ|(z'k)M-1=|λ||zk|M-1=|(Axpyqzr-1)k|≤
(A(x')p(y')q(z')r-1)k,k.
由定理2可得
|λ|≤mini,j,k(((A(x')p-1(y')q(z')r)i)/((x'i)M-1),
((A(x')p(y')q-1(z')r)j)/((y'j)M-1),
((A(x')p(y')q(z')r-1)k)/((z'k)M-1))≤
max(x,y,z)∈(Pm\{θ})×(Pn\{θ})×(Pl\{θ})
mini,j,k(((Axp-1yqzr)i)/(xM-1i ),((Axpyq-1zr)j)/(yM-1j ),
((Axpyqzr-1)k)/(zM-1k ))=λ0.
这一节中,在定理2和定理3的基础上,给出一种计算一个非负不可约广义长方形张量最大特征值的算法.这个算法类似文献[4]中找到一个非负不可约方张量的最大特征值.首先给出一些需要用到的结果.
对于任意两个向量 x∈Rk 和y∈Rk,则x≥y和 x>y分别意味着 x-y∈Pk 和 x-y∈int(Pk).这里的 Pk 和 int(Pk)在第3节中定义.通过直接计算,得到以下引理.
引理4 假设 A 是一个(p,q,r)阶(m×n×l)维的非负长方形张量,x∈Rm,(-overx)∈Rm,y∈Rn,(-overy)∈Rn,z∈Rl,(-overz)∈Rl,都是非负列向量,t是一个正整数.那么,我们得到
(i)如果x≥(-overx)≥0,y≥(-overy)≥0,z≥(-overz)≥0,则 Axp-1yqzr≥A(-overx)p-1(-overy)q(-overz)r,Axpyq-1zr≥A(-overx)p(-overy)q-1(-overz)r,Axpyqzr-1≥A(-overx)p(-overy)q(-overz)r-1
(ii)A(tx)p-1(ty)q(tz)r=tM-1Axp-1yqzr,
A(tx)p(ty)q-1(tz)r=tM-1Axpyq-1zr,
A(tx)p(ty)q(tz)r-1=tM-1Axpyqzr-1.
引理5 假设一个非负(p,q,r)阶(m×n×l)维长方形张量 A 是不可约的.那么,对于任意的强正向量 x>0,x∈Rm,y>0,y∈Rn,z>0,z∈Rl,有 Axp-1yqzr,Axpyq-1zr,和 Axpyqzr-1 是强正向量,即
Axp-1yqzr>0,Axpyq-1zr>0,Axpyqzr-1>0.
证明 显然,Axp-1yqzr≥0.假设对某一个 i 有(Axp-1yqzr)i=0.因为y>0,z>0,存在 j0,k0 和 δ>0 使得y≥δfj0,z≥δgk0.所以得到
0=(Axp-1yqzr)i≥
δq+r(A(xp-1,fqj0,grk0))i≥0,
即
(A(xp-1,fqj0,grub>k0))i=0.(9)
又因为x>0,A(·,fqj0,grk0)是不可约的,由文献[14]中的引理 2.2,可得 A(xp-1,fqjub>0,grk0)>0,这与式(9)矛盾,因此,Axp-1yqzr>0.
同理可以证明 Axpyq-1zr>0 和 Axpyqzr-1>0.
定理4 假设一个非负(p,q,r)阶(m×n×l)-维的长方形张量 A 是不可约的.让x(0)∈Rm,y(0)∈Rn,z(0)∈Rl 是3个任意的强正向量.且 ξ(0)=A(x(0))p-1(y(0))q(z(0))r,η(0)=A(x(0))p(y(0))q-1(z(0))r,θ(0)=A(x(0))p(y(0))q(z(0))r-1.定义
x(1)=((ξ(0))[1/(M-1)])/(‖(ξ(0),η(0),θ(0))[1/(M-1)]‖),
y(1)=((η(0))[1/(M-1)])/(‖(ξ(0),η(0),θ(0))[1/(M-1)]‖),
z(1)=((θ(0))[1/(M-1)])/(‖(ξ(0),η(0),θ(0))[1/(M-1)]‖),
ξ(1)=A(x(1))p-1(y(1))q(z(1))r,
η(1)=A(x(1))p(y(1))q-1(z(1))r,
θ(1)=A(x(1))p(y(1))q(z(1))r-1,
x(t+1)=((ξ(t))[1/(M-1)])/(‖(ξ(t),η(t),θ(t))[1/(M-1)]‖),
y(t+1)=((η(t))[1/(M-1)])/(‖(ξ(t),η(t),θ(t))[1/(M-1)]‖),
z(t+1)=((θ(t))[1/(M-1)])/(‖(ξ(t),η(t),θ(t))[1/(M-1)]‖),
ξ(t+1)=A(x(t+1))p-1(y(t+1))q(z(t+1))r,
η(t+1)=A(x(t+1))p(y(t+1))q-1(z(t+1))r,
θ(t+1)=A(x(t+1))p(y(t+1))q(z(t+1))r-1,t≥1,
并令
λ_-t=minx(t)ub>i>0,y(t)ub>j>0,z(t)ub>k>0{(ξ(t)i)/((x(t)i)M-1),(η(t)j)/((y(t)j)M-1),
(θ(t)k)/((z(t)k)M-1)},
(-overλ)t=maxx(t)i>0,y(t)ub>j>0,z(t)ub>k>0{(ξ(t)i)/((x(t)i)M-1),(η(t)j)/((y(t)j)M-1),
(θ(t)k)/((z(t)k)M-1)},
t=1,2,….
假设 λ0 是 A 的唯一的正奇异值,则,
λ_-1≤λ_-2≤…≤λ0≤…≤(-overλ)2≤(-overλ)1.
证明 由定理2,对于 t=1,2,…,有
λ_-t≤λ0≤(-overλ)t.
现在证明对任意的t≥1,λ_-t≤λ_-t+1,(-overλ)t+1≤(-overλ)t.
对于任意的 t=1,2,…,由 λ_-t 的定义和引理5,可得
ξ(t)≥λ_-t(x(t))[M-1]>0,η(t)≥λ_-t(y(t))[M-1]>0,
θ(t)≥λ_-t(z(t))[M-1]>0.
因此,
(ξ(t))[1/(M-1)]≥(λ_-t)1/(M-1)x(t)>0,
(η(t))[1/(M-1)]≥(λ_-t)1/(M-1)y(t)>0,
(θ(t))[1/(M-1)]≥(λ_-t)1/(M-1)z(t)>0.
所以,
x(t+1)=((ξ(t))[1/(M-1)])/(‖(ξ(t),η(t),θ(t))[1/(M-1)]‖)≥
((λ_-t)1/(M-1)x(t))/(‖(ξ(t),η(t),θ(t))[1/(M-1)]‖)>0,
y(t+1)=((η(t))[1/(M-1)])/(‖(ξ(t),η(t),θ(t))[1/(M-1)]‖)≥
((λ_-t)1/(M-1)y(t))/(‖(ξ(t),η(t),θ(t))[1/(M-1)]‖)>0,
z(t+1)=((θ(t))[1/(M-1)])/(‖(ξ(t),η(t),θ(t))[1/(M-1)]‖)≥
((λ_-t)1/(M-1)z(t))/(‖(ξ(t),η(t),θ(t))[1/(M-1)]‖)>0.
由引理4,可得
A(x(t+1))p-1(y(t+1))q(z(t+1))r≥
(λ_-tA(x(t))p-1(y(t))q(z(t))r)/(‖(ξ(t),η(t),θ(t))[1/(M-1)]‖M-1)≥
(λ_-tξ(t))/(‖(ξ(t),η(t),θ(t))[1/(M-1)]‖M-1)=
λ_-t(x(t+1))[M-1],
A(x(t+1))p(y(t+1))q-1(z(t+1))r≥
(λ_-tA(x(t))p(y(t))q-1(z(t))r)/(‖(ξ(t),η(t),θ(t))[1/(M-1)]‖M-1)≥
(λ_-tη(t))/(‖(ξ(t),η(t),θ(t))[1/(M-1)]‖M-1)=
λ_-t(y(t+1))[M-1],
A(x(t+1))p(y(t+1))q(z(t+1))r-1≥
(λ_-tA(x(t))p(y(t))q(z(t))r-1)/(‖(ξ(t),η(t),θ(t))[1/(M-1)]‖M-1)≥
(λ_-tθ(t))/(‖(ξ(t),η(t),θ(t))[1/(M-1)]‖M-1)=
λ_-t(z(t+1))[M-1],
即对任意的 i=1,2,…,m,j=1,2,…,n,k=1,2,…,l,
λ_-t≤((A(x(t+1))p-1(y(t+1))q(z(t+1))r)i)/((x(t+1)i)M-1),
λ_-t≤((A(x(t+1))p(y(t+1))q-1(z(t+1))r)j)/((y(t+1)j)M-1),
λ_-t≤((A(x(t+1))p(y(t+1))q(z(t+1))r-1)k)/((z(t+1)k)M-1).
可得λ_-t≤λ_-t+1.
同理可以证明(-overλ)t+1≤(-overλ)t.
根据定理4,规定算法如下:
算法1.
1)选择 x(0)>0,x(0)∈Rm,y(0)>0,y(0)∈Rn 和 z(0)>0,z(0)∈Rl.令ξ(0)=A(x(0))p-1(y(0))q(z(0))r,η(0)=A(x(0))p(y(0))q-1(z(0))r 和θ(0)=A(x(0))p(y(0))q(z(0))r-1.设置 t:=0.
2)计算
x(t+1)=((ξ(t))[1/(M-1)])/(‖(ξ(t),η(t),θ(t))[1/(M-1)]‖),
y(t+1)=((η(t))[1/(M-1)])/(‖(ξ(t),η(t),θ(t))[1/(M-1)]‖),
z(t+1)=((θ(t))[1/(M-1)])/(‖(ξ(t),η(t),θ(t))[1/(M-1)]‖),
ξ(t+1)=A(x(t+1))p-1(y(t+1))q(z(t+1))r,
η(t+1)=A(x(t+1))p(y(t+1))q-1(z(t+1))r,
θ(t+1)=A(x(t+1))p(y(t+1))q(z(t+1))r-1,
令
λ_-t=minx(t)ub>i>0,y(t)ub>j>0,z(t)ub>k>0{(ξ(t)i)/((x(t)i)M-1),
(η(t)j)/((y(t)j)M-1),(θ(t)k)/((z(t)k)M-1)},
(-overλ)t=maxx(t)ub>i>0,y(t)ub>j>0,z(t)ub>k>0{(ξ(t)i)/((x(t)i)M-1),
(η(t)j)/((y(t)j)M-1),(θ(t)k)/((z(t)k)M-1)}.
3)如果(-overλ)t+1=λ_-t+1,则停止; 否则,把 t 替换为 t+1,并继续步骤1).
由算法1和定理4,可以得到下面的结果.
定理5 假设一个非负(p,q,r)阶(m×n×l)维长方形张量 A 是不可约的,λ0 是 A 的唯一的正奇异值,那么算法 1 通过有限步得到 λ0 的值,或者生成两个收敛序列 {λ_-t} 和{(-overλ)t}.此外,让 λ_-=limt→+∞λ_-t 和(-overλ)=limt→+∞(-overλ)t,那么,λ_- 和(-overλ)分别是 λ0 的一个下界和上界.如果 λ_-=(-overλ),则 λ0=λ_-=(-overλ).