基金项目:国家自然科学基金(11401556,11471304); 中央高校青年创新基金(WK2040000012)
通信作者:jfcheng@xmu.edu.cn
(School of Mathematical Sciences,Xiamen University,Xiamen 361005,China)
DOI: 10.6043/j.issn.0438-0479.201601028
在连接同宿轨的双曲不动点附近可以构造一个庞卡莱映射,但一般来说,该庞卡莱映射及其线性逼近在其整个定义域内无法做到一致逼近.通过一个例子说明Wiggins S证明中的一个错误,给出庞卡莱映射在整个定义域内能被逼近的一个充分条件,并证明在庞卡莱映射定义域的一个子集内,该映射与其线性化映射可以做到一致逼近.
We can construct a Poincaré map near a hyperbolic point which joins a homoclinic orbit.But in general,it cannot be uniformly approximated linearly in its whole domain.In this paper,we first show a claim in Stephen Wiggins' proof is wrong by an example,and then give a sufficient condition under which the Poincaré map can be approximated linearly in its whole domain.In the end,using our method we get a subset in which the Poincaré map can be linearly approximated.
考虑由下面常微分方程确定的动力系统:
(·overz)=F(z),z∈Rs+u,(1)
其中F:U→Rs+u是定义在Rs+u的某个开集U上的Cr(r≥2)函数.
关于系统(1)有2个假设:
(i)原点是系统(1)的双曲不动点.雅可比矩阵DF(0)有s个特征值具有负实部,u个特征值具有正实部.
(ii)有一个由原点连接的同宿轨.经过一系列变换[1],系统(1)具有如下形式:
(-overx)·=A(-overx)+1/f1((-overx),(-overy))≡A(-overx)+(-overf)1((-overx),(-overy),),
(-overy)·=B(-overy)+1/f2((-overx),(-overy))≡B(-overy)+(-overf)2((-overx),(-overy),).(2)
其中:0<1; A是s阶Jordan方块,每个特征值都具有负实部; B是u阶Jordan方块,每个特征值都具有正实部,
lim→0(-overf)1((-overx),(-overy),)=0,lim→0(-overf)2((-overx),(-overy),)=0.
把式(2)确定的流记作
(-overφ)((-overx)0,(-overy)0,t,)=((-overx)((-overx)0,(-overy)0,t,),
(-overy)((-overx)0,(-overy)0,t,)).
当=0时,式(2)成为线性方程,则
(-overφ)((-overx)0,(-overy)0,t,0)=(eAt(-overx)0,eBt(-overy)0).
式(2)的横截向量场的具有形式[2]
Cs1={(x,y)∈Rs×Ru||x|=1,|y|<1},
Cu1={(x,y)∈Rs×Ru||x|<1,|y|=1}.
并且局部稳定流形与Cs1的交集,局部非稳定流形与Cu1的交集分别为
Ss1={(x,y)∈Rs×Ru||x|=1,|y|=0},
Su1={(x,y)∈Rs×Ru||x|=0,|y|=1}.
在原点附近的映射为
(-overP)0:Cs1-Ss1→Cu1-Su1,
((-overx)0,(-overy)0)→(-overφ)((-overx)0,(-overy)0,T((-overx)0,(-overy)0,),),
其中 T((-overx)0,(-overy)0,)是方程|(-overy)((-overx)0,(-overy)0,T,)|=1的解.当 =0 时,近似映射为
(-overP)L0:Cs1-Ss1 →Cu1-Su1,
((-overx)0,(-overy)0)→(eATL(-overx)0,eBTL(-overy)0),
其中 TL 是方程|eBTL(-overy)0|=1 的解.在一般情况下,(-overP)L0 和(-overP)0 是不能在他们的整个定义域内,即在 Cs1-Ss1 内做到一致逼近的[3-5].
在第1节中本研究给出一个例子说明 Wiggins S[1]在证明庞卡莱映射及其线性化近似一致逼近时的错误.在第2节中基于此例给出一致逼近的一个充分条件.在第 3 节利用本文中方法证明在文献[3]中构造的子集上,映射(-overP)0可以做到一致逼近.
Wiggins S[1]断定由公式
D(-overy)((-overx)0,(-overy)0,TL,0)=
eBTL∫TL0e-BrD(-overf)2(eAr(-overx)0,eBr(-overy)0,0)dr(3)
可推出 D(-overy)((-overx)0,(-overy)0,TL,0)有界,并且D(-overy)((-overx)0,(-overy)0,TL,0)的有界性证明依赖于下面的条件:
1)(-overf)2((-overx),0,)=0,
2)|eAt|≤Ke-αt|(-overx)0|,t≥0,
|eBt(-overy)0|≤Keαt|(-overy)0|,t≤0,
3)|D(-overf)2((-overx),(-overy),0)|≤(-overK)(|(-overx)||(-overy)|+|(-overy)|2),
其中 K、α、(-overK)均为正常数.本研究通过一个例子说明在现有关于矩阵A 和 B的条件下,式(3)的右边可能是无界的.
考虑式(2)形式的一个系统[4]
(-overx)·1=-(-overx)1,(-overy)·1=(-overy)1,(-overy)·2=2(-overy)2+(-overx)1(-overy)1,(4)
在这个系统中
A=(-1),B=(1 0
0 2),(-overf)2((-overx),(-overy),)=(0
(-overx)1(-overy)1),(5)
并且方程(4)的解为
(-overx)1((-overx)01,(-overy)01,t,)=(-overx)01e-t,
(-overy)1((-overx)01,(-overy)01,(-overy)02,t,)=(-overy)01et,
(-overy)2((-overx)01,(-overy)01,(-overy)02,t,)=(-overy)02e2t+1/2(-overx)01(-overy)01(e2t-1).
由此得到
D(-overy)((-overx)0,(-overy)0,t,)=(0
1/2(-overx)01(-overy)01(e2t-1)),(6)
其中 |(-overx)01 |=1.当=0 时,式(6)变为
D(-overy)((-overx)0,(-overy)0,TL,0)=(0
1/2(-overx)01(-overy)01(e2TL-1)),
其中 TL 是方程
|eBTL(-overy)0|=1(7)
的解.由 |(-overx)01 |=1,0<|(-overy)0|<1,只需考虑在式(7)的前提下 |(-overy)01e2TL| 的有界性.由式(5)和(7)有
((-overy)01eTL)2+((-overy)02e2TL)2=1.(8)
有 3 种情况考虑:
1)若(-overy)01=0,则 |(-overy)01e2TL|=0.
2)若(-overy)02=0,则 0<(-overy)01 <1.式(7)变为 |(-overy)01 |eTL=1.因此,当 |(-overy)0|→0 时,|(-overy)01e2TL|=eTL=1/(|(-overy)01 |)→+∞.
3)若(-overy)01(-overy)02 ≠0,由式(8)有
e2TL=((((-overy)01)4+4((-overy)02)2)1/2-((-overy)01)2)/(2((-overy)02)2).
则当 |(-overy)0|→0 且 |((-overy)02)/((-overy)01 )|→0 时,
|(-overy)01e2TL|=2/((((-overy)01)2+4(((-overy)02)/((-overy)01 ))2)1/2+|(-overy)01 |)→+∞,
因此由矩阵 A 和 B 的现有条件不能得到 D(-overy)((-overx)0,(-overy)0,TL,0)有界.在下一节中将对矩阵 B 添加额外的条件来保证式(3)右边的有界性.
由(-overf)2((-overx),(-overy),)的性质,不妨令
D(-overf)2((-overx),(-overy),0)=(g1((-overx),(-overy))
gu((-overx),(-overy))),
其中对任意的正整数 k≤u,
gk((-overx),(-overy))=ck1,1 x1y1+…+ck1,u x1yu+…+
cks,u xsyu+dk1,1 y21+…+dk1,u y1yu+…+
dku,u y2u.
主要定理如下:
定理1 如果 A 的特征值都具有负的实部并且 B 的特征值具有相同的正实部,则在整个定义域内,即在 Cs1-Ss1 内,映射 PL0 一致逼近于 P0.
注1 在文献[3]中,作者得到主要定理的一个推论如下:如果动力系统有一个对应于实特征值的不稳定方向或者对应于一对复共轭特征值的两个不稳定方向,则 PL0 和 P0 在整个定义域内可以做到一致逼近.这一推论对应于定理 1 中矩阵 B 中无重复特征值的情况.
本文中按照文献[1] 中的思路证明定理 1.利用数学归纳法和分部积分公式易于得到.
引理1 对于任意非零实数 a 和非负整数 k,m,
∫TL0(TL-r)krmeardr=eaTLPam(TL)+(-overP)ak(TL),
其中Pam(TL)和(-overP)ak(TL)分别为含参数 a 的关于 TL 的 m 次和 k 次多项式.
命题1 在定理 1 的条件下,D(-overy)((-overx)0,(-overy)0,0)在 Cs1-Ss1 中有界.
证明 令 L(Rs)表示所有s阶方阵的集合.因为具有 s 个不同特征值的方阵集合是 L(Rs)中的稠密开集[6],所以可以只考虑方阵 A 具有s个不同特征值的情况.矩阵 A 具有重特征根的情况可类似证明.更多地,矩阵 B 具有复特征值的情况与只具有实特征值的情况也类似.为避免证明上的繁琐,本文中考虑矩阵 B 只具有实特征值的情况.令
A=(A1
An
λ2n+1
λs)s×s,(9)
其中
Ai=(αi βi
-βi αi),αi<0,λ2n+1,…,λs<0.
令
B=(Bk1
Bkm
λ
λ)u×u,
其中
Bkj=(λ 1
λ
1
1)kj×kj,λ>0,∑i=mi=1ki≤u.
定义一个关于整数 j 的函数,其值是k(j)=∑i=ji=1ki.令 k(0)=0,k(1)=k1,
(-overY)0k1=((-overy)01,…,(-overy)0k(1))T,
(-overY)0km=((-overy)0k(m-1)+1,…,(-overy)0k(m))T,
Gk1((-overx),(-overy))=(g1((-overx),(-overy)),…,gk(1)((-overx),(-overy)))T,
Gkm((-overx),(-overy))=
(gk(m-1)+1((-overx),(-overy)),…,gk(m)((-overx),(-overy)))T.
则若 0<r<TL,有
eAr(-overx)0=(eα1r((-overx)01 cosβ1r+(-overx)02 sinβ1r)
eα1r((-overx)02 cosβ1r-(-overx)01 sinβ1r)
eαnr((-overx)02n-1 cosβnr+(-overx)02n sinβnr)
eαnr((-overx)02n cosβnr-(-overx)02n-1 sinβnr)
eλ2n+1r(-overx)02n+1
eλsr(-overx)0s )s×1,(10)
且
eBr(-overy)0=(eBk1r(-overY)0k1
eBkmr(-overY)0km
eλr(-overy)0k(m)+1
eλr(-overy)0u )u×1,
其中
eBkir(-overY)0ki=
(eλr(-overy)0k(i-1)+1+reλub>r(-overy)0k(i-1)+2+…+(rki-1)/((ki-1)!)eλub>r(-overy)0k(i)
eλr(-overy)0k(i-1)+2+reλb(-overy)0k(i-1)+3+…+(rki-2)/((ki-2)!)eλr(-overy)0k(i)
eλr(-overy)0k(i) )ki×1.
eB(TL-r)D(-overf)2(eAr(-overx)0,eBr(-overy)0,0)=
(eBk1(TL-r)Gk1(eAr(-overx)0,eBr(-overy)0)
eBkm(TL-r)Gkm(eAr(-overx)0,eBr(-overy)0)
eλ(TL-r)gk(m)+1(eAr(-overx)0,eBr(-overy)0)
eλ(TL-r)gu(eAr(-overx)0,eBr(-overy)0))u×1,
其中
eBki(TL-r)Gki(eAr(-overx)0,eBr(-overy)0)=
(eλ(TL-r)gk(i-1)+1(eAr(-overx)0,eBr(-overy)0)+…+((TL-r)ki-1)/((ki-1)!)eλ(TL-r)gk(i)(eAr(-overx)0,eBr(-overy)0)
eλ(TL-r)gk(i-1)+2(eAr(-overx)0,eBr(-overy)0)+…+((Tl-r)ki-2)/((ki-2)!)eλ(TL-r)gk(i)(eAr(-overx)0,eBr(-overy)0)
eλ(TL-r)gk(i)(eAr(-overx)0,eBr(-overy)0))ki×1.
把多项式 Pm(·)的首项系数记为 CPm(·).由引理 1,为证明式(6)右边的有界性只需证明在条件|eBTL(-overy)0|=1 之下,积分
∫TL0eλ(TL-r)gl(eAr(-overx)0,eBr(-overy)0)dr(11)
的有界性,其中 0<l≤u.
给定两个向量a=(a1,…,an)T,b=(b1,…,bm)T,定义
a×b=a1b1+…+a1bm+a2b1+…+
a2bm+…+anb1+…+anbm,
|a|n=a×1=∑i=ni=1ai.
令Kgl=max{|cl1,1 |,…,|cls,u |,|dl1,1 |,…,|dlu,u |},则式(11)的被积函数不超过
Kgleλ(TL-r){eα1r((-overx)01 cosβ1r+(-overx)02 sinβ1r)
(|eBk1r(-overY)0k1 |k1+…+eλr(-overy)0u)+…+
eαnr((-overx)02n cosβnr-(-overx)02n-1 sinβnr)
(|eBk1r(-overY)0k1 |k1+…+eλr(-overy)0u)+
eλ2n+1r(-overx)02n+1(|eBk1r(-overY)0k1 |k1+…+eλr(-overy)0u)+…+
eλsr(-overx)0s(|eBk1r(-overY)0k1 |k1+…+eλr(-overy)0u)+
eBk1r(-overY)0k1eBk1r(-overY)0k1+…+eBk1r(-overY)0k1eλr(-overy)0u+
…+eλr(-overy)0ueBk1r(-overY)0k1+…+
eλr(-overy)0ueλr(-overy)0u}.(12)
可能出现在式(12)中的项中有5种:
(i)∫TL0eλ(TL-r)eαireBkjr(-overY)0kj|kjdr=
∫TL0eair[eλTL(-overy)0k(j-1)+1+reλTL(-overy)0k(j-1)+2+…+
(rkj-1)/((kj-1)!)eλTL(-overy)0k(j)+eλTL(-overy)0k(j-1)+2+
reλTL(-overy)0k(j-1)+3+…+(rkj-2)/((kj-2)!)
eλTL(-overy)0k(j)+…+eλTL(-overy)0k(j)]dr.
由引理 1,对于充分大的 TL,∫TL0eλ(TL-r)eαireBkjr(-overY)0kj|kjdr≤2eαiTLCkj(kj)1/2|eBkjTL(-overY)0kj|→0,若|(-overy)0|→0,其中 Ckj=max{CPαi0(TL),…,CPαikj-1(TL)}.
(ii)∫TL0eλ(TL-r)eαieλr(-overy)0jdr≤∫TL0eαirdr→-1/(αi),若 |(-overy)0|→0.
(iii)∫TL0eλ(TL-r)eBkir(-overY)0kieλr(-overy)0jdr≤
∫TL0|eBkir(-overY)0ki|kidr=∫TL0eλr(-overy)0k(i-1)+1+
reλr(-overy)0k(i-1)+2+…+(rki-1)/((ki-1)!)eλr(-overy)0k(i)+
eλr(-overy)0k(i-1)+2+reλr(-overy)0k(i-1)+3+…+
(rki-2)/((ki-2)!)eλr(-overy)0k(i)+…+eλr(-overy)0k(i)dr.
同样地,由引理 1,对充分大的TL,
∫TL0eλ(TL-r)eBkir(-overY)0kieλr(-overy)0jdr≤
CPλ0(TL)eλTL(-overy)0k(i-1)+1+
CPλ1(TL)TLeλTL(-overy)0k(i-1)+2+…+
CPλki-1(TL)(Tki-1L)/((ki-1)!)eλTL(-overy)0k(i)+
CPλ0(TL)eλTL(-overy)0k(i-1)+2+CPλ1(TL)TL
eλTL(-overy)0k(i-1)+3+…+CPλki-2(TL)(Tki-2L)/((ki-2)!)
eλTL(-overy)0k(i)+…+CPλ0(TL)eλTL(-overy)0k(i)≤
(ki)1/2Cki|eBkiTL(-overY)0ki |≤(ki)1/2Cki,
其中 Cki=max{CPλ0(TL),…,CPλki-1(TL)}.倒数第2个不等式是利用了 Cauchy-Schwartz 不等式.
(iv)∫TL0eλ(TL-r)eBkir(-overY)0kieBkjr(-overY)0kjdr=
∫TL0eλ(TL-r)[eλr(-overy)0k(i-1)+1+reλr(-overy)0k(i-1)+2+…+
(rki-1)/((ki-1)!)(-overy)0k(i)eBkjr(-overY)0kj+
eλ(TL-r)[eλr(-overy)0k(i-1)+2+eλr(-overy)0k(i-1)+3+…+
(rki-2)/((ki-2)!)(-overy)0k(i)]eBkjr(-overY)0kj+…+
eλ(TL-r)eλr(-overy)0k(i)eBkjr(-overY)0kjdr.
在这里像(iii)中的项有 (ki(ki-1))/2 个.类似(iii)中的证明得到∫TL0eλ(TL-r)eBkir(-overY)0kieBkjr(-overY)0kjdr≤(ki(ki-1))/2(kj)1/2Ckj.
(v)∫TL0eλ(TL-r)e2λr(-overy)0i(-overy)0jdr=
1/λeλTL(-overy)0i(-overy)0j(eλTL-1)<1/λ.
从上面 5 项得到积分式(11)有界.
类似地,可以证明在定理 1 中的条件下
D(-overx)((-overx)0,(-overy)0,TL,0)=
eATL∫TL0eArD(-overf)1(eAr(-overx)0,eBr(-overy)0,0)dr
在 Cs1-Ss1 中有界.这样,在得到 D(-overy)((-overx)0,(-overy)0,TL,0)和 D(-overx)((-overx)0,(-overy)0,TL,0)的有界性之后,定理 1 的证明与文献[1] 中命题 3.2.4 的证明类似,在此不再赘述.
考虑矩阵B具有不同的特征值的情况.令
B=(D1
Dp)u×u,
其中Di具有下面 3 种可能的形式:
(γi)ui×ui,(μi νi
-νi μi)ui×ui,(Eli1
Elis(i)).
这里
Eliκ=(γi 1
1
γi)lκ×lκ,
或者
Eliκ=(Ci I2
I2
Ci)lκ×lκ,
Ci=(μi νi
-νi μi),I2=(1 0
0 1).
本文中考虑 A 的特征值均不同的情况,其他情况是类似的.让 A 具有式(9)的形式,做类似于第 2 节的计算.定义关于整数 j 的函数 u(j),其值为 u1,…,up 的前 j 项和,即 u(j)=∑i=ji=1ui.令 u(0)=0,u(1)=u1,
(-overY)0u1=((-overy)01,…,(-overy)0u(1))T,
(-overY)0up=((-overy)0u(p-1)+1,…,(-overy)0u(p))T,
Gu1((-overx),(-overy))=(g1((-overx),(-overy)),…,gu(1)((-overx),(-overy)))T,
Gup((-overx),(-overy))=(gu(p-1)+1((-overx),(-overy)),…,gu(p)((-overx),(-overy)))T.
当0<r<TL时,
eBr(-overy)0=(eDu1r(-overY)0u1
eDupr(-overY)0up )u×1,
其中eDuir(-overY)0ui 有下面 3 种可能的形式:
eγir(-overy)0u(i),eμir((-overy)0u(i-1)+1 cosνir+(-overy)0u(i) sinνir
(-overy)0u(i) cosνir-(-overy)0u(i-1)+1 sinνir),
(eEli1r
eElis(i)r)(-overY)0ui,
这里eEliκr(1≤κ≤i)等于
eγir(1 r(r2)/(2!)…(rlκ-1)/((lκ-1)!)
1 r
1 (r2)/(2!)
r
1),(13)
或等于
(eCir reCir(r2)/(2!)eCir …(rlκ-1)/((lκ-1)!)eCir
eCir reCir
eCir (r2)/(2!)eCir
reCir
eCir),
eCir=eμir(cosνi sinνi
-sinνi cosνi).(14)
则
eB(TL-r)D(-overf)2(eAr(-overx)0,eBr(-overy)0,0)=
(eDu1(TL-r)Gu1(eAr(-overx)0,Br(-overy)0)
eDup(TL-r)Gup(eAr(-overx)0,Br(-overy)0))u×1,
其中 eDui(TL-r)Gui(eAr(-overx)0,eBr(-overy)0)具有以下 3 种可能的形式:
eγi(TL-r)gui(eAr(-overx)0,eBr(-overy)0),
eμi(TL-r)(cosνi(TL-r)sinνi(TL-r)
-sinνi(TL-r)cosνi(TL-r))·
(gu(i-1)+1(eAr(-overx)0,eBr(-overy)0)
gu(i)(eAr(-overx)0,eBr(-overy)0)),
(eEli1r
eElis(i)r)Gui(eAr(-overx)0,eBr(-overy)0),
其中El
从第 2 节的计算中可以看到特征值起了决定性作用.关于这3种可能形式的有界性,只需考虑积分
∫TL0eri(TL-r)gui(eAr(-overx)0,eBr(-overy)0)dr.(15)
因为|(-overx)0|2=((-overx)01)2+…+((-overx)2s)2=1,所以式(15)的被积函数小于
Kguieγi(TL-r){eα1r[|eDu1r(-overY)0u1 |u1+…+
|eDupr(-overY)0up |up]+…+eαnr[|eDu1r(-overY)0u1 |u1+
…+|eDupr(-overY)0up |up]+eλ2n+1r
[|eDu1r(-overY)0u1 |u1+…+|eDupr(-overY)0up |up]+…+
eλsr[|eDu1r(-overY)0u1 |u1+…+|eDupr(-overY)0up |up]+
eDu1r(-overY)0u1[|eDu1r(-overY)0u1 |u1+…+
|eDupr(-overY)0up |up]+…+eDupr(-overY)0up
[|eDu1r(-overY)0u1 |u1+…+|eDupr(-overY)0up |up]}.
由于
|eBTL(-overy)0|=|eDu1TL(-overY)0u1 |2+…+
|eDupTL(-overY)0up |2=1,(16)
有 4 种积分项需要考虑.把 A 的特征值实部记作 a,则有:
(i)∫TL0eγi(TL-r)eareγkr(-overy)0u(k)dr=
{eγiTL(-overy)0u(k)TL.若a+γk-γi=0,
(e(α+γk)TL(-overy)0u(k)-eγiTL(-overy)0u(k))/(α+γk-γi),若a+γk-γi≠0.
(ii)∫TL0eγi(TL-r)eareμkr
|((-overy)0u(k-1)+1cosνkr+(-overy)0u(k)sinνkr
(-overy)0u(k)cosνkr+(-overy)0u(k-1)+1sinνkr)|2dr≤
21/2eγiTL(((-overy)0u(k-1)+1)2+((-overy)0u(k))2)1/2
∫TL0e(a+μk-γi)rdr=
{21/2TLeγiTL(((-overy)0u(k-1)+1)2+((-overy)0u(k))2)1/2,
若a+μk-γi=0,
(21/2)/(a+μk-γi)(((-overy)0u(k-1)+1)2+((-overy)0u(k))2)1/2
(e(a+μub>k)TL-eγiTL),
若a+μk-γi≠0,
(iii)∫TL0eγi(TL-r)ear|(eElk1r
eElks(k)r)
(-overY)0uk|ukdr=eγiTL∫Tub>L0e(a-γi)r(|eElk1r(-overY)01,uk|lk1+
…+|eElks(k)r(-overY)0s(k),uk|lks(k)dr),
其中
(-overY)01,uk=((-overy)0u(k-1)+1,…,(-overy)uk(1))T,
(-overY)02,uk=((-overy)0uk(1)+1,…,(-overy)0uk(2))T,
(-overY)0s(k),uk=((-overy)0uk(s(k)-1)+1,…,(-overy)0uk(s(k)))T,
这里定义 uk(1)=u(k-1)+lk1,uk(2)=uk(1)+lk2,…,uk(s(k))=uk(s(k)-1)+lks(k).
类似第 2 节第 1 种积分项的计算,对于充分大的 TL,
∫TL0eγi(TL-r)ear|(eElk1r
eElks(k)r)
(-overY)0uk|ukdr=eγiTL∫TL0e(a-γi)r(|eElk1r(-overY)01,uk|lk1+
…+|eElks(k)r(-overY)0s(k),uk|lks(k)dr)≤
eaTLCuk(|eElk1TL(-overY)01,uk |lk1+…+
|eElks(k)TL(-overY)0s(k),uk |lks(k))≤(uk)1/2CukeaTL→0,
当(-overy)0→0.
对于复特征值的情况,也可得到类似的结果.
(iv)最后考虑的积分项是∫TL0eγi(TL-r)eDujr(-overY)0uj|eDukr(-overY)0uk|ukdr.该积分有 4 种可能的形式:当 Duj 和 Duk 都没有重复特征值时,计算与本节(i)和(ii)是类似的; 在其他情况下,计算类似于第 2 节第(iii)类和第(iv)类积分项的计算.本文中只罗列计算结果.
1)∫TL0eγi(TL-r)eγjr(-overy)0u(j)eγkr(-overy)0u(k)dr=
{eγiTL(-overy)0u(j)(-overy)0u(k)TL,若γj+γk-γi=0;
1/(γj+γk-γi)(e(γj+γk)TL(-overy)0u(j)(-overy)0u(k)-
eγiTL(-overy)0u(j)(-overy)0u(k)-eγiTL(-overy)0u(j)(-overy)0u(k)),
若γj+γk-γi≠0.
2)∫TL0eγi(TL-r)eγjr(-overy)0u(j)eukr
|((-overy)0u(k-1)+1cosνkr+(-overy)0u(k)sinνkr
(-overy)0u(k)cosνkr+(-overy)0u(k-1)+1sinνkr)|2dr≤
{21/2eγiTL(-overy)0u(j)TL(((-overy)0u(k-1)+1)2+((-overy)0u(k))2)1/2,
若γj+μk-γi=0;
(21/2(-overy)0u(j))/(γj+μk-γi)(((-overy)0u(k-1)+1)2+((-overy)0u(k))2)1/2
(e(γj+μk)TL-eγiTL),
若γj+μk-γi≠0.
3)∫TL0eγi(TL-r)eγjr(-overy)0u(j)eDukr(-overY)0ukdr≤
∫TL0eγi(TL-r)|eDukr(-overY)0ukdr.
4)∫TL0eγi(TL-r)eDujr(-overY)0ujeDukr(-overY)0ukdr≤
(uj(uj-1))/2∫TL0eγi(TL-r)|eDukr(-overY)0uk|ukdr.
作为A的特征值,a<0.因此,在式(16)之下,
e(a+μk)TL(((-overy)0u(k-1)+1)2+((-overy)0u(k)+1)2)1/2<1,
|e(a+γk)TL(-overy)0u(k) |<1,
且
eaTL|(eElk1TL
eElks(k)TL)(-overY)0uk |→0,
当|(-overy)0|→0.更多地,
e(γj+γk)TL(-overy)0u(j)(-overy)0u(k) <1,
e(γj+μk)TL(-overy)0u(j)(((-overy)0u(k-1)+1)2+((-overy)0u(k))2)1/2<1.
则式(3)右端的有界性转化为在式(16)下,eReγiTL(-overy)0u(h),eReγiTL(((-overy)0u(h-1)+1)2+((-overy)0u(h))2)1/2 和式(3)右端式子的有界性(i≠h),其中 Reγi 表示 γi 的实部.
定义Cs1 的一个子集如下:
Kδ={((-overx)0,(-overy)0)||(-overx)0|=1,δ|eDui(-overY)0ui |ui≤
|eDup(-overY)0up |up,1≤i≤p},
其中 0<δ<1.则对任意((-overx)0,(-overy)0)∈(Cs1-Ss1)∩Kδ,有
|eReγiTL(-overy)0u(h) |,eReγiTL(((-overy)0u(h-1)+1)2+((-overy)0u(h))2)1/2≤
1/δ|eDupTL(-overY)0up |≤1/δ,
∫TL0eγi(TL-r)|eDukr(-overY)0uk|ukdr≤
∫TL01/δeγp(TL-r)|eDup(-overY)0up|updr.
类似第 2 节第(iii)类积分项的计算,本文中得到式(3)右端式子是有界的,这样有
定理2 若矩阵B 的特征值不具有相同的实部,则存在常数0>0,B>0 使得
|(-overP)0((-overx)0,(-overy)0)-(-overP)L0((-overx)0,(-overy)0)|<B,
其中0<<0,((-overx)0,(-overy)0)∈(Cs1-Ss1)∩Kδ.
注2 当子矩阵 Dup 没有重复特征值时,这里定义的 Kδ与文献[3]中的定义相同.